Il classico: cateti 3 e 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, e √25 = 5 esatto. È il triangolo 3-4-5, il più piccolo con tre lati interi, e vale la pena riconoscerlo a prima vista, così come i suoi multipli 6-8-10 e 9-12-15.
Calcolatrice teorema di Pitagora
Due lati su un triangolo disegnato danno il terzo, in modo esatto, radicali compresi.
Ultimo aggiornamento
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I quadrati sui cateti sommati danno il quadrato sull'ipotenusa
In un triangolo rettangolo, e solo in un triangolo rettangolo, a² + b² = c², dove c è l'ipotenusa: il lato opposto all'angolo retto e sempre il più lungo dei tre. L'enunciato parla di AREE: costruisci un quadrato su ciascuno dei due lati più corti e la loro area complessiva è esattamente l'area del quadrato costruito sul lato più lungo. Ecco perché tutto viene elevato al quadrato e perché alla fine il risultato richiede una radice quadrata.
Il verso in cui va l'aritmetica dipende da quale lato manca, ed è lì che si annida la maggior parte degli errori. Se cerchi l'ipotenusa, SOMMI i due quadrati. Se cerchi un cateto, SOTTRAI: a² = c² − b², perché il quadrato dell'ipotenusa è il totale e il quadrato del cateto noto ne è una parte. Sommare quando dovresti sottrarre dà un risultato più grande dell'ipotenusa, il che è impossibile: un controllo utile.
I risultati qui sono esatti. L'ipotenusa di un triangolo con cateti 2 e 3 è √13, ed è √13 che questa pagina riporta, con 3.6056 accanto, indicato come l'arrotondamento che è. √20 viene semplificato in 2√5 invece di essere lasciato così, e un triangolo i cui tre lati risultano interi viene segnalato come la terna pitagorica che è.
Cosa notare
- Il teorema vale solo nel triangolo rettangolo. In qualsiasi altro triangolo, a² + b² e c² sono semplicemente numeri diversi: lì la versione generale è il teorema del coseno (di Carnot).
- c è sempre il lato più lungo. Se il tuo risultato per l'ipotenusa è più piccolo di un cateto, da qualche parte un'addizione è diventata una sottrazione.
- Trovare un cateto è una sottrazione. a² = c² − b² segue direttamente dal teorema, ed è il caso che si sbaglia molto più spesso dell'ipotenusa.
- La maggior parte dei risultati è irrazionale. I triangoli con tre lati interi, come 3-4-5 e 5-12-13, sono l'eccezione, ed è per questo che la forma con il radicale conta.
- L'area di un triangolo rettangolo è ab/2, i due cateti moltiplicati e divisi per due. L'ipotenusa non c'entra: i cateti si incontrano già ad angolo retto, quindi uno è la base e l'altro l'altezza.
- Qualsiasi multiplo di una terna è una terna. 3-4-5 moltiplicato per 3 dà 9-12-15, ed è per questo che negli esercizi ricompaiono sempre gli stessi pochi triangoli.
Come trovare un lato mancante
Individua l'ipotenusa
È il lato opposto all'angolo retto, e il più lungo dei tre. Sbagliarla rende sbagliato ogni passaggio successivo, quindi indicala con una lettera prima di calcolare qualsiasi cosa.
Decidi se devi sommare o sottrarre
Manca l'ipotenusa: somma i quadrati dei due cateti. Manca un cateto: sottrai il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa.
Eleva al quadrato i lati che conosci
Prima eleva al quadrato, poi somma o sottrai. Elevare al quadrato dopo aver sommato, (a + b)², dà un numero diverso e molto più grande.
Estrai la radice quadrata
Annulla l'elevamento al quadrato e ti dà il lato stesso. Se non viene intero, semplifica il radicale invece di passare a un decimale: √20 è 2√5.
Controlla che la misura abbia senso
L'ipotenusa deve essere più lunga di ciascun cateto e più corta della loro somma. Se il tuo risultato viola una delle due regole, hai scambiato addizione e sottrazione.
Triangoli rettangoli a colpo d'occhio
Le terne da imparare a memoria, e cosa succede quando il risultato non è intero. La colonna esatta è il risultato; il decimale ne è un arrotondamento.
| a | b | c | Esatto | Decimale |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Esempi svolti
Un'ipotenusa irrazionale: cateti 2 e 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13, quindi l'ipotenusa è √13. Quello è il risultato: 3.6056 ne è un arrotondamento, ed elevando al quadrato 3.6056 si ottiene 12.9999… invece di 13. La maggior parte dei triangoli rettangoli è come questo; i casi con numeri interi sono l'eccezione.
Semplificare il radicale: cateti 2 e 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20, e √20 non viene lasciato così: 20 = 4 · 5, e il 4 esce dalla radice come 2, dando 2√5. Stesso numero, ed è la forma che ogni griglia di correzione si aspetta.
Trovare un cateto: ipotenusa 5, altro cateto 4
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b = 4, c = 5Prima riordina: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, quindi a = 3. Sommare invece avrebbe dato √41 ≈ 6.4, più lungo dell'ipotenusa: impossibile, ed è il controllo che scopre subito questo errore.
Lati frazionari: cateti 3/2 e 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, e la radice quadrata di 25/4 è esattamente 5/2. Le frazioni restano frazioni dall'inizio alla fine, ed è per questo che il risultato è 5/2 invece di 2.5, anche se qui sono lo stesso numero.
Errori comuni
- Sommare quando il lato mancante è un cateto. Il quadrato dell'ipotenusa è il TOTALE, quindi trovare un cateto significa sottrarre da esso.
- Elevare al quadrato la somma invece di sommare i quadrati. a² + b² non è (a + b)²; il secondo è più grande di 2ab, che in un triangolo reale non è mai zero.
- Chiamare ipotenusa il lato sbagliato. È quello opposto all'angolo retto, non semplicemente l'ultimo disegnato o quello a destra.
- Dimenticare la radice quadrata. 3² + 4² = 25 è il quadrato del risultato, non il risultato: l'ipotenusa è 5, non 25.
- Usare il teorema su un triangolo senza angolo retto. Vale solo per i triangoli rettangoli; per tutti gli altri serve il teorema del coseno.
- Arrotondare un radicale troppo presto. √13 al quadrato fa esattamente 13, ma 3.61 al quadrato fa 13.0321, e in un problema con più passaggi quell'errore cresce.
Domande frequenti sul teorema di Pitagora
Cos'è il teorema di Pitagora?
In un triangolo rettangolo, a² + b² = c², dove a e b sono i due lati più corti (i cateti) e c è l'ipotenusa, opposta all'angolo retto. Letto come aree: i quadrati costruiti sui due cateti hanno esattamente la stessa area complessiva del quadrato costruito sull'ipotenusa.
Come si calcola l'ipotenusa?
Eleva al quadrato entrambi i cateti, sommali ed estrai la radice quadrata: c = √(a² + b²). Per i cateti 3 e 4 fa √25 = 5. Se la radice non viene intera, tienila come radicale semplificato: √20 diventa 2√5.
E come si calcola un cateto?
Sottrai, non sommare: a² = c² − b², quindi a = √(c² − b²). Con un'ipotenusa di 5 e un cateto di 4 fa √(25 − 16) = 3. È il caso che va storto più spesso, e il controllo è che un cateto deve sempre essere più corto dell'ipotenusa.
Cos'è una terna pitagorica?
Tre numeri interi che soddisfano il teorema: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Qualsiasi multiplo di una terna è anch'esso una terna, quindi 6-8-10 e 9-12-15 vengono gratis con 3-4-5. La maggior parte dei triangoli rettangoli NON forma una terna, ed è per questo che i risultati irrazionali sono la norma.
Il teorema funziona su qualsiasi triangolo?
No, solo sui triangoli rettangoli. Per qualsiasi altro triangolo l'enunciato generale è il teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), che si riduce esattamente al teorema di Pitagora quando C è 90° e il suo coseno è zero.
Perché questa pagina tiene le radici quadrate invece dei decimali?
Perché un radicale è il risultato esatto e un decimale ne è un arrotondamento. √13 al quadrato fa 13 preciso; 3.61 al quadrato fa 13.0321. In un problema con più passaggi quella differenza si accumula, e comunque la maggior parte delle griglie di correzione vuole la forma esatta.
Come verifico se un triangolo è rettangolo?
Prova il teorema sui tre lati che hai: se a² + b² è esattamente uguale a c², con c il lato più lungo, il triangolo ha un angolo retto. Se il membro di sinistra è più grande l'angolo è acuto, se è più piccolo è ottuso: è l'inverso del teorema ed è un controllo davvero utile.
La calcolatrice gestisce frazioni e decimali?
Sì, e restano entrambi esatti. Cateti di 3/2 e 2 danno un'ipotenusa esattamente di 5/2, e un decimale inserito viene letto come la frazione esatta che rappresenta, non come un'approssimazione in virgola mobile.
