要約値からの平均
plain
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%標準誤差は10 ÷ 5 = 2です。自由度24で95%のt臨界値は2.064なので、誤差幅は約4.13で、区間は45.87から54.13です。代わりにzを使うと1.96 × 2で誤差幅3.92となり、標本25にはやや狭すぎます。
信頼区間計算ツール
平均または比率の区間を90、95、99%で、誤差幅の計算過程つきで。
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信頼区間は、不確かさを添えた推定値
標本平均は母平均の推測であり、範囲のない推測は検証できない推測です。信頼区間がその範囲です: 推定値 ± 誤差幅。誤差幅は臨界値 × 標準誤差で、この2つの因子はそれぞれ別の問いに答えます。標準誤差は、推定値が標本ごとにどれくらい動くか。臨界値は、求めた信頼水準に達するために区間が標準誤差いくつ分まで届くか。
平均については標準的な手順に従います。生データからは平均と標本標準偏差を厳密に計算し、標準偏差は根号のまま保ちます。要約値からは、入力された数値をそのまま使います。標準偏差を標本から推定している場合、臨界値は自由度n − 1のt曲線から取るのが正直な選択で、ここでのデフォルトです。既知のσや大きなnのためのz版は切り替えひとつで使えます。比率については2つの区間を示します: ほとんどの教科書に載っているWald区間と、報告すべきWilsonスコア区間です。Waldは比率が0や1に近いときや標本が小さいときに挙動が悪くなるからです。
答えの下には、推定値に印をつけた数直線上に区間が描かれます。区間の絵は、一対の数字では伝わらないことを伝えるからです: それがどこにあるかに対して、どれだけ広いか。4.9から5.1までの平均の区間と、2から8までの区間はどちらも区間ですが、小数3桁で報告する価値があるのは一方だけです。
信頼区間について知っておくこと
- 「95%の信頼」は方法についての主張であって、この区間についてではありません。この方法で区間を何度も作れば、約95%が真の値を含みます。個々の区間は含むか含まないかのどちらかです。
- 水準を広げれば区間も広がります。99%の区間は2ではなく約2.6標準誤差まで届くので、同じデータで95%の区間より3分の1広くなります。
- 幅はnの平方根に反比例して縮みます。データを4倍にすると誤差幅は半分、100倍にすると10分の1です。
- σを標本から推定したときはtを使います。n = 10で95%のt臨界値は1.96ではなく2.26で、そうでないふりをすると区間が狭すぎます。
- 比率にはWilsonを報告してください。Wald区間は0を下回ったり1を超えたりすることがあり、成功数か失敗数が約10未満だと信頼できません。Wilsonは可能な範囲内に収まり、約束した被覆率を守ります。
信頼区間の作り方
推定値を計算する
標本平均、または標本比率。できれば厳密なまま保ちます。このページはそうしています。
標準誤差を計算する
平均なら、標準偏差 ÷ √n。比率なら、p(1 − p) ÷ n の平方根。
臨界値を調べる
σを推定した平均なら、あなたの水準での自由度n − 1のt曲線から。既知のσや比率なら正規曲線から: 90、95、99%に対して1.645、1.960、2.576。
掛けて誤差幅を求め、足して引く
誤差幅 = 臨界値 × 標準誤差。区間は、推定値 − 誤差幅から推定値 + 誤差幅までです。
信頼区間の臨界値
推定値の両側に、区間が標準誤差いくつ分まで届くか。
| 水準 | z | t、df = 5 | t、df = 10 | t、df = 30 |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 2.015 | 1.812 | 1.697 |
| 95% | 1.960 | 2.571 | 2.228 | 2.042 |
| 99% | 2.576 | 4.032 | 3.169 | 2.750 |
計算例
生データからの平均
plain
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9平均はちょうど5、標本標準偏差は4√14/7、約2.138です。√8で割ると標準誤差は約0.756。自由度7でt値は2.365なので、95%の区間は約3.21から6.79です。
比率
plain
40 successes in 100 trials標本比率は0.4です。Wald区間は0.4 ± 1.96 × 0.049なので、0.304から0.496。Wilson区間は0.309から0.498: 中央に向かってわずかにずれており、これが端で正直さを保つ補正です。40と60はどちらも10を大きく上回るので2つはほぼ一致しますが、10回中3回の成功なら一致しません。
信頼区間のミス
- 真の平均がこの区間にある確率は95%だと言うこと。確率の主張は繰り返し標本にわたる手順についてであって、1つの固定された区間についてではありません。
- 小標本でzを使うこと。σをデータから推定してnが約30未満なら、tの臨界値は目に見えて大きく、zの区間は狭すぎます。
- 稀な比率にWald区間を報告すること。20回中2回の成功ではWald区間は0を下回ります。Wilson区間はそうならず、書き留めるべきはこちらです。
- 標準誤差で√nではなくnで割ること。誤差幅がはるかに小さくなりすぎます。
- 狭い区間を正しい区間と読むこと。幅は精度であって正確さではありません。偏った標本は、間違った数の周りに狭い区間を作ります。
- 重なり合う2つの区間を比べて差がないと結論すること。2つの95%区間が重なっていても平均の差は有意であり得ます。差を直接検定してください。
信頼区間のよくある質問
95%信頼区間はどう計算しますか?
標本平均を取り、標準誤差を標準偏差 ÷ √nとして計算し、95%の臨界値(zなら1.96、標準偏差を推定しているなら自由度n − 1のt値)を掛け、その誤差幅を平均に足し引きします。このページはそれぞれを別の行として行います。
95%信頼区間は実際には何を意味しますか?
それを生み出す方法が、繰り返し標本にわたって95%の確率で真の値を捉える、という意味です。この特定の区間に真の値がある確率が95%だという意味ではありません。真の値は固定されていて、区間はそれを含むか含まないかのどちらかです。実用的な読み方は: 区間の中の値はデータと矛盾せず、外の値は矛盾する、です。
信頼区間でzではなくtを使うのはいつですか?
標準偏差を同じ標本から推定したときは常にtで、それが普通のケースです。zは母標準偏差が既知のとき、または数百を超える大きなnでの近似として使います。n = 10では2.26対1.96で、無視するには大きすぎる差です。
誤差幅とは何ですか?
区間の幅の半分: 臨界値 × 標準誤差です。世論調査が引用する「±」です。52%の結果に対する3%の誤差幅は、区間が49%から55%までという意味です。
比率でページが2つの区間を示すのはなぜですか?
Wald区間は教科書の公式で、p ± z × √(p(1 − p) / n)。単純で、ほとんどの授業で教えられるものです。Wilsonスコア区間は、0と1の近くや小標本でのWaldの既知の欠陥を補正したもので、統計学者が報告を推奨するものです。教科書の答えとより良い答えの両方を見られるように、両方を示しています。
ある誤差幅を得るにはどれくらいの標本が必要ですか?
誤差幅の公式を並べ替えます: n = (z × σ / E)²。比率で最悪のケースp = 0.5なら、n = (z / (2E))²なので、95%で3%の誤差幅には約1,068人が必要です。誤差幅を半分にすると標本は4倍になります。
信頼区間から結果が有意かどうかわかりますか?
はい、一方向には: 差の95%区間がゼロを含まなければ、その差は5%水準で有意です。平均の区間が仮説の値を含まなければ、1標本検定はそれを棄却します。区間はさらに効果の大きさも語り、それは検定だけではわかりません。
