分数のたし算

分数のたし算には評判があり、狭い意味ではそれは正当です。4つの計算のうち、余分な手順が あるのはこれだけです。かけ算とわり算はそのまま通り抜けます。たし算は立ち止まり、まず 両方の分数を書き直せと言ってきます。

その余分な手順は誰かが決めた慣習ではありません。強制されたものであり、下のバーがその 理由です。

大きさの違う区画は一緒に数えられない

上の2本のバーが2つの分数です。初期値では一方は2等分、もう一方は3等分に切られています。 切り方が違うので、区画の大きさが違います。全部で何区画あるかを正直に言う方法は ありません。2分の1と3分の1は同じものではないからです。「1区画たす1区画は2区画」と すれば 2/5 になり、出発点の2分の1より小さくなってしまいます。

3本目のバーがこれを解決します。両方の分数が6分の1に切り直されます。2分の1はその3つ、 3分の1はその2つになり、これで同じ大きさの区画になったので、そのまま寄せられます。

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

たし算のあいだ分母が何をしたかに注目してください。何もしていません。分母は足される量では なく、どの種類の区画を数えているかを示す札です。6分の1が3つと6分の1が2つで6分の1が 5つになるのは、りんご3個とりんご2個がりんご5個になるのと同じ理由です。

分母を足すのが間違いなのもこのためです。1/4 + 1/4 は 2/4、 つまり2分の1で、分母を足すと 2/8、つまり4分の1になります。それは何も足す 前に持っていた量です。

分母がすでに同じなら、することはない

図で2つの分母を同じ数にすると、3本目のバーはほかの2本と同じように切られます。作業が すでに済んでいるからです。

2/7 + 3/7 = 5/7

分子を足し、分母を保ち、できれば約分する。これが規則の全部で、このページの残りはこの 状況に持ち込むために存在します。

共通の分母を見つける

2つの分母が両方とも割り切る数が必要です。手に入れる方法は2つあります。

最小の共通の分母はいちばん小さいもの、つまり2つの分母の最小公倍数です。計算が 小さいままになります。

2つの分母をかける方法は必ず使え、考える必要がなく、最後に約分される大きめの数を 出します。

どちらの列も同じ答えに着きます。右の列は途中で大きい数を運ぶだけで、 1/4 + 1/6 は 10/24 として現れ 5/12 に約分が 必要になりますが、左の道は直接 5/12 に着きます。

分母を動かしながら図の表示を見てください。一方がもう一方をすでに割り切るとき、共通の 分母は単に大きいほうです。2/5 + 1/10 に必要なのは10で、50ではありません。 5分の1はすでに10分の1からできているからです。

それぞれの分数を書き直す

分母が決まったら、各分数はそこに届く数を分子と分母にかけて書き直します。同じ大きさの 分数にするだけです。

3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24

1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24

9/24 + 4/24 = 13/24

かける数は分数ごとに違いますが、それが普通です。8は24に届くのに3が、6には4が必要です。 両方で同じでなければならないのは、最後に乗る数のほうです。

ひき算も同じページ

上のすべてがそのまま成り立ち、最後で符号が1つ変わるだけです。

5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

共通の分母にして、分子を引く。答えが負になったらそれは本物の答えで、間違いではありません。 1/4 - 5/6 は -7/12 です。

やってみよう

3/8+1/6

4/14 になったなら分母を足しています。26/48 になったなら、最小公倍数ではなく分母を かけました。量は正しいので約分すれば、やはり 13/24 に着きます。