12 と 18 の最小公倍数
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12, 1812 = 2² · 3、18 = 2 · 3² です。各素因数について大きい指数を取ると、12 から 2²、18 から 3² で 2² · 3² = 4 · 9 = 36 になります。書き出しでも確認できます。12 の倍数は 12、24、36、18 の倍数は 18、36 なので、共有する最初の数が 36 です。近道も一致します。12 × 18 = 216、216 ÷ 6 = 36。
最小公倍数（LCM）計算ツール
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最小公倍数とは
ある数の倍数とは、その数に整数を掛けて得られるものです。4 の倍数は 4、8、12、16 と限りなく続きます。二つの数の公倍数は、両方の並びに現れます。最小公倍数はその両方に現れる最も小さい数、つまり二つの数え上げのリズムが最初に出会う場所です。
4 と 6 の最小公倍数は 12 です。12 が 4 の倍数でもあり 6 の倍数でもある最初の数だからです。定義が言っているのは本当にそれだけで、どこかで方法の筋を失っても、いつでも二つの並びを書き出すところへ戻れます。
本当に役立つのは分数の足し算です。1/4 と 1/6 を足すには共通の分母が必要で、4 と 6 の最小公倍数がその中で最も小さいものを与えます。12 なので 3/12 + 2/12 = 5/12 です。どの公倍数でも足せますが、最小のものを選べば後で約分する手間がいちばん少なくなります。
途中式で見るべきところ
- 素数の表は、各素因数について各数が出す指数を示します。最小公倍数ではその行の最大を取ります。規則はこの一枚の絵で全部です。
- 一つの数にしか現れない素因数も、そのままの強さで最小公倍数に入ります。最小公倍数はすべての数の倍数でなければならないので、何も捨てられません。
- 倍数の書き出しは定義を目に見える形にしたものです。二つの方法が食い違ったら、信じるのは書き出しのほうです。
- ちょうど2つの数なら 積 ÷ 最大公約数 = 最小公倍数。手計算で最も速い方法で、ほかの二つの無料の検算にもなります。
2つの数の最小公倍数を求める手順
数を入力する
整数を2つ以上、カンマか空白で区切って入力します。
12, 18や4 6 8のように。一度に最大10個までです。答えを読み、方法を選ぶ
最小公倍数は上に出ます。その下で、同じ答えが3通りの道で得られます。素因数分解、倍数の書き出し、積÷最大公約数の近道。授業で使う方法を辿ってください。
素数の表を列ごとに確かめる
各行が素因数、各列が数です。行の中で強調されたマスが最大の指数で、最小公倍数が取るのはそれです。右の列を掛け合わせれば答えになります。
書き出しで納得する
どこか手品のように感じたら、倍数の書き出しを見てください。すべての行に現れる最初の数が最小公倍数で、これは定義そのものです。
よく出る最小公倍数
課題でいちばんよく出る組み合わせを、結果だけでなく理由つきで。
| 数 | 最小公倍数 | 理由 |
|---|---|---|
| 4 と 6 | 12 | 4 から 2²、6 から 3 |
| 12 と 18 | 36 | 12 から 2²、18 から 3² |
| 3 と 5 | 15 | 共通の素因数がないので単に 3 × 5 |
| 6 と 8 | 24 | 8 から 2³、6 から 3 |
| 10 と 15 | 30 | 10 から 2、15 から 3、両方から 5 |
| 8, 9, 21 | 504 | 2³、3²、7 — それぞれから一つ |
| 1 から 10 | 2520 | 2³ · 3² · 5 · 7 |
解いてみる例
3 と 5 の最小公倍数 — 共通するものがないとき
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3, 53 と 5 はどちらも素数で異なるので、共通の因数がありません。そうなると最小公倍数は単に積の 15 です。だから二つの素数、あるいは互いに素な二つの数の最小公倍数は、掛け合わせた値より小さくなることはありません。
1/4 と 1/6 を足す
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4, 64 と 6 の最小公倍数は 12 なので、12 が最小公分母です。書き換えると 3/12 + 2/12 = 5/12 で、約分は要りません。代わりに 24（これも公倍数）を使うと 6/24 + 4/24 = 10/24 になり、正しいけれど約分がもう一手増えます。
3つの数の最小公倍数：8、9、21
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8, 9, 218 = 2³、9 = 3²、21 = 3 · 7 です。三つを通して各素因数の最大の累乗を取ると、8 から 2³、9 から 3²、21 から 7。これで 8 · 9 · 7 = 504 になります。21 の 3 が何も足していないことに注目してください。9 がすでに 3 のより高い累乗を出しているからです。
よくある間違い
- 最小公倍数と最大公約数を混同する。最小公倍数は入力した最大の数以上になり、最大公約数は最小の数以下になります。答えが逆側にあるなら、もう一方の問題を解いています。
- 数を掛けて終わりにする。それは公倍数ですが、最小のものになるのは共通の因数がないときだけです。12 と 18 では 36 ではなく 216 になります。
- 素数の表で最小の指数を取る。それは最大公約数の規則です。最小公倍数では最大を取ります。
- 一つの数にしか現れない素因数を捨てる。最小公倍数は入力したすべての数の倍数でなければならないので、現れた素因数はすべて残ります。
- 3つ以上の数に 積÷最大公約数 を使う。この等式はちょうど2つのときだけ成り立ちます。
- 最小公倍数がいつも二つの積だと思い込む。そうなるのは互いに素なときだけです。
最小公倍数のよくある質問
二つの数の最小公倍数とは？
両方が余りなく割り切る最小の正の整数のことです。4 と 6 なら 12 で、両方の九九に最初に現れる数です。
最小公倍数と最大公約数の違いは？
最小公倍数は両方が「入っていく」最小の数、最大公約数は「両方に入る」最大の数です。12 と 18 なら最小公倍数は 36、最大公約数は 6 です。手早い確認として、最小公倍数は最大の入力より小さくならず、最大公約数は最小の入力より大きくなりません。
素因数分解で最小公倍数を求める方法は？
各数を素因数に分け、どこかに現れる素因数それぞれについて見えた最大の累乗を取って掛け合わせます。12 = 2² · 3 と 18 = 2 · 3² なら 2² と 3² を取って 36 です。
手計算で最小公倍数を求める最も簡単な方法は？
2つの数なら最大公約数を求めて 最小公倍数 =（a × b）÷ 最大公約数 を使います。12 と 18 なら 216 ÷ 6 = 36 です。特に最大公約数が明らかなときは、両方を分解するより速いことが多いです。
1 から 10 までの最小公倍数は？
2520 です。2³ · 3² · 5 · 7、つまり 10 までの各素数の最大の累乗です。1 桁のどの数でも割り切れる最小の数なので、よく問われます。
最小公倍数が入力した数のどれかになることはある？
あります。一方の数がもう一方の倍数であるときです。4 と 12 の最小公倍数は 12 です。12 がすでに 4 の倍数で、それより小さい数ではありえないからです。
分数でなぜ最小公倍数が必要なのですか？
分数を足したり引いたりするには共通の分母が必要で、分母の最小公倍数が最小のものを与えます。どの公倍数でも足せますが、最小なら後の約分が少なくなります。
