三つを一度に: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
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2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9合計は8個で40なので平均は5。個数が偶数なので中央値は4番目と5番目、つまり4と5の平均で4.5。最頻値は3回現れる4です。三つの異なる数で、いずれも異なる問いへの正解です。
平均・中央値・最頻値の計算機
三つの代表値に範囲と四分位数、それぞれの求め方つき。
最終更新
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「真ん中はどこ?」への三つの異なる答え
平均はすべてを足して等しく分けます。中央値は大きさを無視して並び順の真ん中の値を選びます。最頻値は位置をまったく無視して、いちばん多く現れるものを選びます。これは本当に別々の三つの問いで、偏ったリストでは本当に別々の三つの答えになります - 違いを知っていることが効いてくるのは、まさにそのときです。
だからアパートばかりの通りに一軒だけある家の価格は平均を動かし、中央値はそのままです: 平均は各値の大きさを感じ取り、中央値は位置だけを数えます。給料や価格や待ち時間について1つの数だけが示されたら、それがどの「平均」なのかを尋ねてください - この選択は実際に仕事をしています。
このページは三つとも、さらに範囲・四分位数・四分位範囲も示し、それぞれが並べ替えたリストからどう出てくるかを見せます。平均は正確なままです: ここでは 1, 2, 4 の平均は 2.33 ではなく 7/3 です。2.33 は別の数であり、丸めるかどうかは読む人が決めることだからです。
ここに注目
- まずリストを並べ替えること。中央値・四分位数・範囲はすべて並び順から直接読み取るもので、並べ替える前はどれも信用できません。
- 個数が偶数だと真ん中が一つに決まらないので、中央値は中央2つの平均になり、リストにない値になることもあります。
- リストの最頻値は複数あることも、まったくないこともあります。最多で並ぶ値が2つなら最頻値は2つ。すべて1回ずつなら最頻値はなく、それが答えです。
- 三つのうち、すべての値が引っぱれるのは平均だけです。極端な値は平均を引きずり、中央値はその場に残します。
- 範囲は最大と最小の2つの数しか使わないので、その間で何が起きているかは何も語りません。
- 四分位範囲は中央半分の範囲です。裾を意図的に無視するので、より頑健なばらつきの尺度になります。
三つを手で求める手順
値を順に書く
小さいものから大きいものへ。1分の手間で、三つの答えが一目で読めるようになります。
平均: 足して割る
すべての値を足し、個数で割ります。割り切れないなら分数のままに - 7/3 は正確で、2.33 は違います。
中央値: 真ん中の位置を探す
個数が奇数なら真ん中のただ一つの値。偶数なら中央の2つをとって平均します。
最頻値: 重複を数える
いちばん多く現れる値。並べ替えたリストを追いながら数えます。同数は本物で、どちらも数えます。
範囲と四分位数
最大引く最小が範囲。並べ替えたリストを中央値で分け(個数が奇数なら中央値自身は除く)、各半分の中央値をとります: それが Q1 と Q3 で、Q3 − Q1 が四分位範囲です。
同じリストでの三つの代表値
食い違う行に注目してください - 偏ったリストは、どの平均を選ぶかが話を変えてしまう場所です。
| 値 | 平均 | 中央値 | 最頻値 | 範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 4.5 | 4 | 7 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 2.5 | - | 3 |
| 12, 15, 11, 15, 20 | 14.6 | 15 | 15 | 9 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 2 | - | 3 |
| 1, 1, 2, 2, 3 | 1.8 | 2 | 1, 2 | 2 |
| 10, 10, 10, 100 | 32.5 | 10 | 10 | 90 |
| 3, 3, 3 | 3 | 3 | 3 | 0 |
| 5, 6, 7, 8, 9 | 7 | 7 | - | 4 |
解いてみる
最頻値がないとき: 1, 2, 3, 4
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1, 2, 3, 4どの値もちょうど1回ずつなので最頻値はありません - 0でも最初の値でもなく、ないのです。平均と中央値はともに2.5で、リストが等間隔のときに起こります。ここでの中央値はリストの一員ではなく、偶数個ではまったく普通のことです。
最頻値が二つ: 1, 1, 2, 2, 3
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1, 1, 2, 2, 31も2も2回現れるので、このリストは二峰性で、どちらも最頻値です。一方を選んで他方を捨てるのは誤りで、正直な答えは両方。平均は1.8、中央値は2です。
外れ値がすること: 10, 10, 10, 100
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10, 10, 10, 100中央値は10、最頻値も10ですが、平均は32.5 - データの大半が語る値の3倍以上です。この性質こそ、住宅価格や給与で中央値を正直な選択にし、平均を誤解を招く選択にしています。
正確な平均: 1, 2, 4
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1, 2, 4合計は3個で7なので平均は 7/3 - このページが示すのも 7/3 です。2.33 と書くと3分の1を捨てることになり、その数を標準偏差など他の何かに使った瞬間に効いてきます。
よくある間違い
- 並べ替えていないリストから中央値を読む。並び順の真ん中は入力した順の真ん中ではありません。つねに先に並べ替えること。
- 偶数個で真ん中の位置をとる。8個の値に4.5番目はありません - 4番目と5番目を平均してください。
- 「最頻値なし」を最頻値0と呼ぶ。どの値も1回ずつならリストに最頻値はなく、そう書くのが答えです。
- 2つ並んでいるのに最頻値を1つだけ報告する。最多を分け合う2つの値は2つの最頻値です。リストは二峰性や多峰性にもなります。
- 使う前に平均を丸める。7/3 が2.33になり、以降の計算すべてが誤差を受け継ぎます - 分数を保ってください。
- 「平均」といえば相加平均だと決めつける。報道や報告書ではしばしば中央値を指し、その二つはまさにそうした報告が扱う偏ったデータで最も食い違います。
平均・中央値・最頻値のよくある質問
平均・中央値・最頻値の違いは?
平均は合計を個数で割ったもの。中央値はリストを並べたときの真ん中の値。最頻値はいちばん多く現れる値です。真ん中についての三つの異なる問いに答えるもので、偏ったリストでは三つの異なる数になります。
値の個数が偶数のとき中央値はどう求める?
中央の2つの値をとって平均します。1, 2, 3, 4 なら中央の2つは2と3なので中央値は2.5 - リストに現れる必要のない数です。先に並べ替えることが「真ん中」に意味を与えます。
リストに最頻値が2つ以上あることは?
あります。2つ以上の値が最多で並べば、それらすべてが最頻値で、リストは二峰性・多峰性と呼ばれます。このページは1つを選ばず並んだ値すべてを示します - 1つを選ぶのは間違いだからです。
最頻値がない場合は?
どの値もちょうど1回ずつなら、そのリストに最頻値はありません。それは正当な答えです - 0でも、最初の値でも、最大の値でもありません。教科書によっては最頻値が「存在しない」と書きますが、同じことです。
どの平均を使うべき?
データに極端な値や長い裾があるときは中央値 - 所得、住宅価格、待ち時間。値がおおむね対称でどれも数えるべきときは平均。データが大きさではなくカテゴリのとき、あるいは本当に最も多い場合を知りたいときは最頻値です。
ここでの四分位数の求め方は?
学校で教える方法です: リストを並べ、中央値で分け(個数が奇数なら中央値自身を除く)、各半分の中央値をとります。他の慣習もあり小さな標本ではわずかに違う答えになるので教科書と食い違うことがあります - このページは使っている方法を明示しています。
四分位範囲は何の役に立つ?
データの中央半分の範囲 Q3 − Q1 で、極端な値を意図的に無視します。そのため、リストの最も異常な2つの値だけで決まってしまう素の範囲より、はるかに頑健なばらつきの尺度になります。
なぜ平均が分数で表示されるの?
それが正確だからです。1, 2, 4 の平均は 7/3。2.33 と書くと100分の1の3分の1をただちに失い、数を再利用すればさらに失います。小数も有限なら表示しますが、答えは正確な値です。
