24 と 36 の最大公約数
plain
24, 3624 = 2³ · 3、36 = 2² · 3² です。各素因数について小さい指数を取ると、2²（24 は 2 が三つですが 36 は二つ）と 3¹（36 は 3 が二つですが 24 は一つ）で、2² · 3 = 12 になります。互除法でも一致します。36 = 1 × 24 + 12、次に 24 = 2 × 12 + 0 なので、0 でない最後の余りは 12 です。
最大公約数（GCD）計算ツール
共通の素因数、またはユークリッドの互除法による最大公約数。
最終更新
計算ツールなしで解けるようになりたいですか？
Coddy の数学コースは解き方そのものを教えます。対話式のボードで一手ずつ進め、どこで手順が狂ったのかを正確に教えてくれます。
最大公約数とは
ある数の約数とは、余りを出さずにその数を割り切るもののことです。12 の約数は 1、2、3、4、6、12 です。二つの数の公約数は両方の並びに現れます。最大公約数はそのうち最も大きいもの、つまり両方をきれいに割り切る最大の数です。
24 と 36 の最大公約数は 12 です。どちらも 1、2、3、4、6、12 で割り切れ、その中で最大が 12 です。英語では greatest common divisor（GCD）や highest common factor（HCF）とも呼ばれます。どれもまったく同じ意味で、どの呼び方を習ったかはおおむね地域の問題です。
主な仕事は約分です。24/36 を既約にするには両方を最大公約数で割ります。24 ÷ 12 = 2、36 ÷ 12 = 3 で、一手で 2/3 になります。もっと小さい公約数で割っても進みますが、また同じことを繰り返すことになります。最大のものを探す理由はそこにあります。
途中式で見るべきところ
- 素数の表は各素因数と、各数が出す指数を示します。最大公約数ではその行の最小を取り、どこかの列で欠けている素因数は何も寄与しません。
- ユークリッドの互除法は何も分解しません。ただ割って余りを残すだけなので、分解するには大きすぎる数でも速さを保ちます。
- 最大公約数が 1 なら、その数たちは互いに素です。これは本物の答えで、見つけられなかったということではありません。
- 最大公約数は入力した最小の数を超えることはなく、その数がほかのすべてを割り切るときはちょうどその数になります。
2つの数の最大公約数を求める手順
数を入力する
整数を2つ以上、カンマか空白で区切って入力します。
24, 36や54 24 36のように。一度に最大10個までです。答えを読み、方法を選ぶ
最大公約数は上に出ます。その下で、同じ答えが共通の素因数によって、そしてちょうど2つの数のときはユークリッドの互除法によって得られます。
素数の表を行ごとに確かめる
各行が素因数です。最大公約数はその行の最小の指数を取り、ダッシュのある行はまるごと落ちます。一部の数だけが持つ因数は「公」ではないからです。
互除法の跡を辿る
各行が割って余りを記録し、次の行が割る数とその余りで繰り返します。余りが 0 になったら、その一つ前が答えです。
よく出る最大公約数
いちばんよく出る組み合わせを、結果だけでなく理由つきで。
| 数 | 最大公約数 | 理由 |
|---|---|---|
| 24 と 36 | 12 | どちらも 2² と 3 を持つ |
| 48 と 18 | 6 | どちらも 2 と 3 を持つ |
| 8 と 12 | 4 | どちらも 2² を持つが 3 は 12 だけ |
| 15 と 25 | 5 | どちらも 5 を一つ持つ |
| 8 と 9 | 1 | 共通の素因数なし — 互いに素 |
| 7 と 21 | 7 | 7 が 21 を割るので小さい数が最大公約数 |
| 54, 24, 36 | 6 | 2 と 3 が三つすべてに現れる |
解いてみる例
24/36 を約分する
plain
24, 36最大公約数は 12 なので両方をそれで割ります。24 ÷ 12 = 2、36 ÷ 12 = 3 で 2/3 です。もし因数 2 だけに気づいていたら 12/18、次に 6/9、次に 2/3 と、同じ場所に三手遅れで着いていました。最大公約数を見つけることが、これを一手にします。
互いに素な数：8 と 9
plain
8, 98 = 2³、9 = 3² です。共通の素因数がないので最大公約数に入れるものがなく、答えは 1 です。こういう数を互いに素と呼びます。分数 8/9 がすでに既約で、これ以上約分できないという意味でもあります。
48 と 18 でのユークリッドの互除法
plain
48, 1848 = 2 × 18 + 12。次に 18 と 12 で繰り返します。18 = 1 × 12 + 6。12 と 6 で繰り返します。12 = 2 × 6 + 0。余りが 0 なので、その前の余り 6 が最大公約数です。一度も分解していないことに注目してください。だからこの方法は何百桁の数でも通用します。
よくある間違い
- 最大公約数と最小公倍数を混同する。最大公約数は最小の数以下、最小公倍数は最大の数以上です。答えが逆側なら、もう一方の問題を解いています。
- 素数の表で最大の指数を取る。それは最小公倍数の規則です。最大公約数では最小を取ります。
- 一部の数だけが持つ素因数を含める。3 が入力したすべての数を割らないなら、3 の累乗は最大公約数に入りません。
- 最初に気づいた公約数で止める。2 は 24 も 36 も割りますが 12 も割ります。分数を一手で約分できるのは最大のものだけです。
- 最大公約数 1 を失敗と受け取る。それは互いに素という意味で、完全な答えです。
- 互除法で読む行を間違える。答えは 0 でない最後の余りで、最後の 0 でも最後の商でもありません。
最大公約数のよくある質問
最大公約数とは何ですか？
二つ以上の数を余りなく割り切る最大の整数のことです。24 と 36 なら 12 です。英語では greatest common divisor（GCD）や highest common factor（HCF）とも呼ばれ、いずれも同じ意味です。
最大公約数、GCD、HCF は同じものですか？
まったく同じです。GCF と GCD は米国で、HCF は英国と英連邦の多くで一般的な呼び方です。教科書がどれを使っていても、この計算ツールは同じ問いに答えます。
素因数分解で最大公約数を求める方法は？
各数を素因数に分け、すべての数に現れる素因数それぞれについて見えた最小の累乗を取って掛け合わせます。24 = 2³ · 3 と 36 = 2² · 3² なら 2² と 3 を取って 12 です。
ユークリッドの互除法とは何で、なぜ使うのですか？
大きい数を小さい数で割って余りを残します。割る数とその余りで、余りが 0 になるまで繰り返します。0 でない最後の余りが最大公約数です。知っておく価値があるのは、一度も分解しないので、分解するには大きすぎる数でも速さを保つからです。
最大公約数が 1 のときは何を意味しますか？
1 以外に共通の因数がない、つまり互いに素だという意味です。それらで作った分数はすでに既約です。
最大公約数が入力した数のどれかになることはある？
あります。一つの数がほかのすべてを割り切るときです。7 と 21 の最大公約数は 7 です。7 が 21 を割り、7 より大きいものは 7 を割れないからです。
最大公約数で分数を約分する方法は？
分子と分母をその最大公約数で割ります。24/36 なら最大公約数は 12 なので 2/3 になります。最大公約数を使ったので、結果は必ず既約です。
