はしごをまるごと: 731 ÷ 4
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731 ÷ 44 は 7 に1回入り、3 が残ります。3 を下ろすと、4 は 33 に8回入り、1 が残ります。1 を下ろすと、4 は 11 に2回入り、3 が残ります。これで 182 あまり 3 です。小数点の先へ進むと 30 で 7、20 で 5 が立つので、正確な小数は 182.75 になります。
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割り算の筆算は、4つの動作をくり返すひとつのループ
はしごのどの段も、動作は同じ4つです。次の位の数字を下ろし、割る数が何回入るかを考え、かけ、ひく。ひき算のあとに残ったものが次の段に持ち越され、上に書いた数字が並んで商になります。それ以外のことは何も起こりません。割り算の筆算とは、短い手続きを数の桁数だけくり返すアルゴリズムなのです。
特別なのは最初の段だけです。割る数がやっと入るところまで、必要な分の桁を取ります。1234 ÷ 56 なら 1 でも 12 でも足りないので、最初の窓は 123 になり、56 はそこに2回入ります。そのあとは0も含めて厳密に1段1桁です。56 が0回しか入らないときも 0 を上に書きます。これを飛ばすのが、位取りを失う典型的なミスです。
桁を使い切ってもまだ何か残っているときは、同じループが0を下ろしながら小数点の先へ続きます。小数は本当にここから生まれます。そして前に見たあまりがもう一度現れたら、2回の出現のあいだの数字は永遠にくり返すしかありません。7 ÷ 12 = 0.58333… が循環するのはそのためで、これは言い張っているのではなく、筆算そのものが見つけた事実です。
注目したいところ
- どの段も同じ4つの動作 - 下ろす、立てる、かける、ひく - でできていて、ひき算で残ったものが次の段の出発点になります。
- 各段のあまりは、必ず割る数より小さくなります。そうでなければ、その上に立てた商の数字が小さすぎたということ。これが筆算に組み込まれた検算です。
- 商の0も1つの数字です。割る数が入らないときも 0 を書きます。落とすと、それ以降の数字がすべて1つずれてしまいます。
- 小数は同じループの続きです。桁がなくなったら、小数点の先に0を下ろして続けるだけです。
- 循環小数とは、くり返されたあまりのことです。あり得るあまりの数は限られているので、終わらない割り算はいつか同じあまりに戻るしかなく、そこから先は数字が永遠に循環します。
割り算の筆算のやり方
最初の窓を取る
割られる数の桁を左から読み、その数が割る数以上になるまで取ります。731 ÷ 4 なら 7 だけで十分、1234 ÷ 56 なら 123 になります。
立てて、かけて、ひく
割る数は何回まるごと入るでしょうか。その数字を上に書き、積を下に書いて、ひきます。4 は 7 に1回入り、7 - 4 で 3 が残ります。
次の桁を下ろしてくり返す
割られる数の次の桁を残りの横につけ、同じ3つの動作をそこに行います。3 は 33 になり、4 は 8回入ります。
桁がなくなったら、あまりで止めるか小数点の先へ
最後に残ったものがあまりです。731 ÷ 4 = 182 R 3。小数で出したいときは商に小数点を打ち、0を下ろし続けます。182.75 になります。
答えを3通りに読む
同じ割り算を、問題が求めうる3つの形で並べました。どの形がその問いの答えになるのかも合わせて見てください。
| 割り算 | 商とあまり | 正確な小数 | 分数で |
|---|---|---|---|
| 731 ÷ 4 | 182 R 3 | 182.75 | 731/4 = 182¾ |
| 1234 ÷ 56 | 22 R 2 | 22.03(571428) | 617/28 |
| 7 ÷ 12 | 0 R 7 | 0.58(3) | 7/12 |
| 100 ÷ 8 | 12 R 4 | 12.5 | 25/2 |
| 45 ÷ 9 | 5 R 0 | 5 | 5 |
| 10 ÷ 3 | 3 R 1 | 3.(3) | 10/3 |
| 1 ÷ 7 | 0 R 1 | 0.(142857) | 1/7 |
例題と解説
2桁の割る数: 1234 ÷ 56
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1234 ÷ 561 も 12 も 56 を入れられないので、最初の窓は 123 です。56 は2回入り (112)、11 が残ります。4 を下ろすと、56 は 114 にまた2回入り (112)、2 が残ります。よって 1234 ÷ 56 = 22 R 2。割る数が大きくなっても増える手間は各桁の見積もりだけで、ループ自体は変わりません。
循環小数を現行犯で捕まえる: 7 ÷ 12
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7 ÷ 127 は 12 より小さいので整数部分は 0 で、はしごはそのまま小数点の先へ進みます。70 で 5 が立ち (10 が残る)、100 で 8 が立ち (4 が残る)、40 で 3 が立ちます (また 4 が残る)。あまり 4 は前にも出ています。だからそこから先ははしごが同じことをくり返すしかなく、答えはちょうど 0.583333… = 0.58 の 3 が循環する形です。
問題に小数がある場合: 12.5 ÷ 0.5
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12.5 ÷ 0.5小数点を消すために両方の数を10倍します。125 ÷ 5 です。両方をそろえて何倍かしても商は変わりません。どちらでも答えは 25 です。学校で「小数点は両方とも同じだけ動かす」と教わるのはこのためです。あとははしごが整数のまま進みます。
よくあるミス
- 商の0を飛ばしてしまう。割る数が0回しか入らないときも 0 は上に書かなければなりません。落とすと 618 ÷ 6 = 103 が 13 になってしまいます。
- あまりが割る数に届いてしまう。各段の残りは割る数より小さくなければなりません。そうでないなら、上に立てた数字が小さすぎたということです。
- 一度に2桁下ろしてしまう。1段につき1桁が常に原則で、2桁下ろすとそれ以降の列がすべてずれます。
- 小数点を片方だけ動かしてしまう。12.5 ÷ 0.5 を整数にするには両方を10倍します。片方だけ動かすと、見た目ではなく答えが変わります。
- あまりを小数のように書いてしまう。182 R 3 は 182.3 ではありません。あまりは分け残った 3 つの4分の1で、小数にすれば .75 です。
- 循環小数を四捨五入して答えにしてしまう。7 ÷ 12 はちょうど 0.583333… で、0.58 は近似です。迷ったときは分数 7/12 が正確な形です。
割り算の筆算に関するよくある質問
割り算の筆算の手順は？
くり返す動作は4つです。次の桁を下ろす、立てる (割る数がまるごと何回入るか)、割る数にその数字をかける、ひく。残りが次の段に送られ、上に書いた数字が並んで商になります。上のアニメーションはこのループをそのまま実行し、クリックごとに1段進みます。
最初に何桁取ればよいか、どう判断しますか？
左から読んで、その数が割る数以上になるまで取ります。731 ÷ 4 なら 7 だけで十分、1234 ÷ 56 なら 123 が必要です。最初の窓のあとは、厳密に1段につき1桁だけ下ろします。
あまりはどう扱えばよいですか？
問題が何を求めているかで決まります。そのままなら 731 ÷ 4 = 182 あまり 3 です。分数にするなら、あまりを割る数の上に置いて 182¾。小数にするなら、はしごを続けて小数点の先に0を下ろし、終わるか循環し始めるまで進めます。3つの形はすべて上に表示されています。
小数がある割り算の筆算はどうなりますか？
割る数が整数になるまで、両方の数を同じ10のべき乗でそろえて何倍かします。12.5 ÷ 0.5 は 125 ÷ 5 になり、あとは普通に割るだけです。両方をそろえて倍にしても商は変わりません。ただしあまりは倍にした問題のものになるので、このページは整数の問題だけ商とあまりを表示します。
なぜ永遠にくり返す割り算があるのですか？
はしごが作れるあまりの種類は限られていて、割る数より少ないからです。ゼロに届かない割り算はいつか同じあまりに戻るしかなく、その瞬間から同じ段が循環して再生されます。2回の出現のあいだの数字が循環する部分です。12 で割ると小数11桁以内に必ず循環し、7 で割ると6桁ごとにくり返します。
筆算の答えはどう確かめますか？
かけ戻してあまりを足します。商 × 割る数 + あまり が、割られる数をぴったり復元するはずです。731 ÷ 4 なら 182 × 4 = 728、これに 3 を足して 731。この検算は、数字の立て間違いと、割る数を超えて育ったあまりの両方を見つけてくれます。
正確な答えが分数になることがあるのはなぜ？
小数が永遠に循環するとき、あるいははしごが読める範囲より長く続くときは、分数が正確な値を有限に書ける唯一の形です。7 ÷ 12 は 7/12 そのもので、小数 0.5833… はそれを言い終えられません。表示される分数はつねに既約です。
