負の傾き: (3, 8) と (5, 2)
縦の変化は 2 - 8 = -6、横の変化は 5 - 3 = 2 なので、傾きは -6/2 = -3。右へ1進むごとに3下がります。順序に注意してください。差を逆に取れば 6 と -2 で、同じ傾きになります。してはいけないのは、y を一方向、x を逆方向に取ることです。
傾き 計算ツール
2点をドラッグすると、傾きも直線も式もその場で変わります。
最終更新
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傾きは「縦の変化 ÷ 横の変化」で、その様子を目で見られます
直線の傾きとは、右へ1歩進むごとにどれだけ登るかです。直線上のどの2点でも、y の変化を x の変化で割った値になります。傾きに関するすべての規則はこの一文から出てきます。傾きが正なら登り、負なら下り、水平な直線の傾きは0、垂直な直線には傾きがありません。横の変化が0で、0では割れないからです。
言葉にするのは簡単ですが、公式から実感するのは難しいものです。だからこのページは絵にします。横の変化を進み、縦の変化を登る、2点の間の階段です。片方をドラッグして、どの数字が変わるか見てください。縦の変化を2倍にすれば傾きも2倍、横の変化を2倍にすれば傾きは半分、点を直線に沿って動かせばどちらも変わりません。この最後の事実こそ、傾きを定義する価値がある理由です。
2点が決めるほかのすべても厳密に得られます。宿題が求めうる3つの形での直線の式、2点間の距離を厳密な根号で、中点、両方の切片、そして垂直な直線の傾き。途中で丸めは行いません。(0,0) と (2,3) の距離は 3.6056 ではなく √13 です。
ドラッグしながら見るべきところ
- 同じ直線上にあるなら、どの2点を選んでも傾きは変わりません。点を直線に沿って動かしても傾きは動きません。これが、傾きを点ではなく直線の性質にしています。
- 符号は向きです。左から右へ登れば正、下れば負、平らな直線はちょうど0です。
- 垂直な直線には傾きがありません。0ではなく「定義されない」です。横の変化が0だからです。傾き0と傾きが定義されないことは正反対で、この混同がこの単元で最も多い誤りです。
- 急さは符号を無視した傾きの大きさです。傾き -4 は傾き 2 より急です。
- 垂直な直線の傾きの積は -1 です。傾きが 2 になるまでドラッグすると、垂直側は -1/2 と表示されます。この関係は暗記より目で見る価値があります。
使い方
2点を入力するか、ドラッグする
4つの欄に入力するか、平面上のどちらかの点をドラッグします。矢印キーでも1目盛りずつ動くので、マウスなしでも使えます。
傾きを読み、次に形を読む
傾きは上部に厳密な分数で、隣に小数がついています。その下に同じ直線の傾き・切片の形、点と傾きの形、一般形があります。問題が求めるものを使ってください。
階段を見る
2点の間の破線が横の変化と縦の変化です。分数がおかしいと感じたらマスを数えてください。図と計算は一致しなければなりません。
必要なら追加の値も
距離、中点、両方の切片、x軸との角、垂直な傾きが下に計算されています。2点の問題がよく求める残りの項目です。
傾きのクイックリファレンス
このページのすべての数の背後にある公式と、それぞれが当てはまる場合。
| 項目 | 公式 | 備考 |
|---|---|---|
| 傾き | m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) | Rise over run, in that order |
| 傾き・切片の形 | y = mx + b | b is where the line crosses the y-axis |
| 点と傾きの形 | y - y₁ = m(x - x₁) | Fastest from a point and a slope |
| 一般形 | Ax + By = C | A, B, C whole numbers, A positive |
| 水平な直線 | m = 0 | y = c |
| 垂直な直線 | m undefined | x = c |
| 平行な直線 | same m | Never meet |
| 垂直な直線同士 | m₁ × m₂ = -1 | Negative reciprocal |
| 距離 | √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) | Pythagoras on the staircase |
| 中点 | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | The average of each coordinate |
例題
分数の傾き: (1, 2) と (4, 6)
縦4、横3なので傾きは 4/3 で、分数のまま残ります。1.33 はその丸めで、傾きを問う問題では分数が答えです。式は y = 4x/3 + 2/3 となり、一般形 (4x - 3y = -2) のほうがすっきり書けることが多い理由もこれです。
垂直な直線: (2, 5) と (2, -1)
どちらの点も x = 2 なので横の変化は0、傾きは定義されません。0ではありません。直線は x = 2 であり、y = mx + b の形には書けません。公式だけでは教えてくれない場合で、このページは言葉で伝えます。
水平な直線: (-3, 4) と (5, 4)
縦の変化が0なので傾きは 0/8 = 0。直線は y = 4 です。上の垂直の場合と比べてください。分子が0なら傾き0、分母が0なら傾きなし。まったく別のことです。
よくある間違い
- 横の変化を上に置くこと。縦÷横です。y の変化を x の変化で割ります。逆ではありません。
- 差を違う順で取ること。上で y₂ - y₁ にしたなら、下も x₂ - x₁ にします。混ぜると符号が反転します。
- 垂直な直線の傾きを0だと言うこと。傾きはありません。傾きが0なのは水平な直線です。
- 負の座標で符号を落とすこと。4 - (-3) は 7 で、1 ではありません。誤った傾きの大半はここから来ます。
- 分数を丸めること。傾き 4/3 は厳密で、1.33 はそうではありません。採点はそれを見分けます。
- 垂直な傾きを符号なしで使うこと。2 の逆数の符号を変えたものは -1/2 で、1/2 ではありません。
傾きのよくある質問
2点から傾きを求める方法は？
y の座標を引いて縦の変化、x の座標を同じ順で引いて横の変化を求め、割ります。m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。そのあと分数を約分します。このページの手順は、あなたの数値でのその計算です。
「縦÷横」とは？
傾きを絵で言い換えたものです。右へ一定の歩幅（横の変化）進むとき、直線がどれだけ登るか（縦の変化）。平面上の破線の階段はあなたの2点の間に描かれているので、分数と図は同じものです。
垂直な直線の傾きは？
定義されません。2点の x が同じで横の変化が0であり、0では割れないからです。傾きがちょうど0である水平な直線とは別です。垂直な直線の式は x = c で、y = mx + b の形には書けません。
2点から直線の式を出す方法は？
先に傾きを求め、次にどちらかの点を y = mx + b に入れて b を解きます。このページは両方の手順を示し、2番目を省ける点と傾きの形も表示します。傾きが分かれば y - y₁ = m(x - x₁) がすでに式です。
平行と垂直の傾きとは？
平行な直線の傾きは等しくなります。垂直な直線の傾きの積は -1 で、一方が他方の逆数の符号を変えたものです。2 と -1/2、あるいは -3/4 と 4/3。垂直な傾きは答えの下に表示されます。
距離と中点も出ますか？
はい、どちらも厳密に出ます。距離は同じ縦横の変化にピタゴラスを当てたものなので、しばしば無理数になります。2√10 のように簡約した根号で示し、隣に小数を添えます。小数だけにはしません。
座標に分数や小数を入力できますか？
できます。欄は整数、1/2 のような分数、0.75 のような小数を受け付け、その後もすべて厳密に保たれます。0.5 は2分の1として読まれます。ドラッグは整数に吸着するので、マスを数えるのが簡単です。
