12/16 を約分する
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12/1612 は 2² · 3、16 は 2⁴。共通は 2² なので最大公約数は 4 - 両方を割って 3/4 です。2 で割ると 6/8 になりますが、正しくても未完成。6 と 8 にはまだ 2 が共通しています。
約分の計算機
どんな分数も既約分数に。共通の約数は決めつけず、見つけて示します。
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約分とは、分子と分母の両方に同じ割り算をすること
分数は、分子と分母を同じ数で掛けても割っても値が変わりません。12/16、6/8、3/4 は同じ量の三つの書き方です。約分とは、共通するものがなくなるまで分子と分母を共通の数で割ること。その数が最大公約数で、探すべきものはそれだけです。
多くの計算機は約分した分数を出して終わり、いちばん面白い半分を隠してしまいます。ここでは先に両方を素因数分解します。12 は 2² · 3、16 は 2⁴ で、共通は 2²、だから約数は 4 です。なぜ 2 でも 8 でもなく 4 なのか - 二、三回見れば計算機はいらなくなります。それがこのページの目的です。
すべて正確です。1/3 は 0.3333333333 ではなく循環部分を示した 0.333… として表示し、6分の1 は百分率で 16.67% ではなく 16⅔%、帯分数の符号は全体にかかるので -2 3/4 は -11/4 であって -5/4 にはなりません。
ここに注目
- 既約とは、分子と分母に 1 より大きい共通の約数がないこと。それが終了条件で、「数が小さく見えるから」ではありません。
- 割るべき数は最大公約数です。小さい共通約数で割っても構いませんが、何回か繰り返すことになります。12/16 を 2 で割ると 6/8 で、まだ 2 が残っています。
- 約分と最大公約数を求めることは同じ問題です。片方ができれば他方もできる - このサイトの二つの計算機は意図的に同じ道をたどります。
- 分子と分母が互いに素なら、その分数は完成しています。7/9 は約分できず、そう言われることは失敗ではなく答えです。
- 約分しても小数も百分率も変わりません。値が変わらないからです。これは無料の検算になります - 小数が動いたなら、片方だけを割ってしまったということです。
分数を約分する手順
まず帯分数を処理する
前に整数があるなら取り込みます。整数に分母を掛けて分子を足す。2 6/8 は (2 · 8 + 6)/8 = 22/8 になります。符号があれば、それは全体にかかります。
分子と分母を素因数分解する
22 は 2 · 11、8 は 2³。書き出すことで、共通の因数が推測ではなく目に見えるようになります。
共通の素因数を掛け合わせる
両方が持つ素因数を、両方が持っている個数だけ取ります。ここでは 2 が一つだけなので、最大公約数は 2 です。
その数で両方を割る
22 ÷ 2 = 11、8 ÷ 2 = 4 なので分数は 11/4。終了の確認: 11 と 4 に共通なものはないので、これが既約分数です。
問題が求める形で書く
11/4 は 1 より大きいので帯分数 2 3/4 とも書けます。値は同じで、問題が帯分数で始まっていたなら通常はこちらが期待される形です。
既約分数の一覧
同じ八つの量を、あらゆる姿で: 与えられた分数、出てくる約数、既約の形、正確な小数、正確な百分率。
| 分数 | 最大公約数 | 既約分数 | 小数 | 百分率 |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
解いてみる
すでに終わっている例: 7/9
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7/97 は素数、9 は 3² なので 1 より大きい共通因数はなく、約分できません。ページは作業をしているふりをせず、そう告げます。「すでに既約」は問われた質問への答えです。
大きい例: 84/126
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84/12684 は 2² · 3 · 7、126 は 2 · 3² · 7。共通は 2 が一つ、3 が一つ、7 が一つ - つまり約数は 42 で、分数は一気に 2/3 になります。42 を目で見抜くのは難しいですが、二つの分解から読み取るのは難しくありません。
帯分数: 2 6/8
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2 6/8まず取り込みます。2 · 8 + 6 = 22 なので 22/8。次に 2 で割って 11/4 にし、2 3/4 と書き戻します。整数部分に触る必要はありません - 約分できたのは分数部分だけです。
整数になる例: 18/6
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18/6最大公約数は 6 で、両方を割ると 3/1、つまり単に 3 です。何もない上の分数の線は誤りに見えるので、答えはただの 3 と書きます。
よくある間違い
- 片方だけ割ってしまう。12/16 は 3/16 ではありません。上でしたことは下でもする、そうでなければ値が変わってしまいます。
- 早く止めすぎる。6/8 は 12/16 の正しい約分ですが答えではありません。ほとんどの採点は既約分数を求めます。
- 割るのではなく引いてしまう。「両方から 4 を引いた」から 12/16 が 8/12 になる、ということはありません。分数は比なので、掛け算と割り算だけが値を保ちます。
- 和をまたいで約分する。(4 + 6)/2 で 4 と 2 を約分することはできません。2 は分子全体を割るので、足し算が先です。
- 帯分数の符号を分数部分に付ける。-2 3/4 は -(2 + 3/4) = -11/4 の意味です。-2 + 3/4 と読むと -5/4 になり、まったく別の数になります。
- 途中で四捨五入する。小数や百分率が必要なら、まず正確な分数を出してください。0.33 と書いた 1/3 はもう3分の1ではありません。
約分についてよくある質問
分数はどうやって約分しますか?
分子と分母をその最大公約数で割ります。12/16 ならその数は 4 で、3/4 になります。約数が見えないときは両方を素因数分解し、共通のものを掛け合わせてください。その積が最大公約数そのものです。
「既約分数」「最も簡単な形」とはどういう意味ですか?
分子と分母に 1 より大きい共通の約数がないという意味です。3/4 は既約ですが、6/8 は両方が偶数のままなので既約ではありません。どちらの言い方もまったく同じことを指します。
約分できない分数はどう見分けますか?
二つの数の最大公約数が 1 のときです。このとき互いに素と呼びます。手早い確認: 分子が素数で分母を割らないなら、もう終わっています。7/9、5/12、13/20 はそのままで完成しています。
帯分数や仮分数でも使えますか?
使えます。帯分数はまず一つの分数に直され(2 6/8 は 22/8)、約分され、1 より大きければ帯分数に戻されます。仮分数も同じ扱いで、答えは両方の形で示されます。
なぜ答えが四捨五入した小数ではなく循環小数なのですか?
別の数だからです。3分の1 は 0.333… と永遠に続き、0.333 は3分の1ではありません - 3000分の1だけ小さい数です。循環部分を示すことが値を正しく書く唯一の方法なので、このページは四捨五入しません。
約分は最大公約数を求めることと同じですか?
実際上は同じです。仕事のすべては最大公約数を見つけ、それで一度割ることだけ。だからこのページは二つの素因数分解を見せ、最大公約数の計算機も同じ道をたどります。名前が二つある一つの技能です。
答えは必ず約分しなければいけませんか?
ほぼ常にそうです。約分していない分数は値としては間違いではありませんが、多くの採点基準は既約の形に点を与えますし、二つの分数を比べるのも両方が既約のほうがずっと簡単です。例外は特定の分母を指定する問題です。
