1点で交わる: 2x + y = 5 と x - y = 1
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2x + y = 5; x - y = 12式を足すと +y と -y が打ち消され、y がすぐ消えます。3x = 6 なので x = 2、そしてどちらの式からでも y = 1。図では2直線が (2, 1) で交わっています。点は1つ、答えは1つです。
連立方程式 計算ツール
加減法を一行ずつ。2直線とその交点も図で示します。
最終更新
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連立方程式は2本の直線であり、解くこととは交点を見つけることです
x と y の2つの方程式は、同じ平面上の2本の直線です。両方の方程式を満たす組 (x, y) は、両方の直線上にある点、つまり交点です。これが考えのすべてで、あらゆる場合を一度に説明します。1回交わる直線は解が1つ、平行な直線は解なし、同じ直線を2回描いた場合は解が無限にあります。
加減法や代入法は、その交点を描かずに見つける方法にすぎません。このページは両方の半分を行います。答えの意味が見えるようにする図と、どう見つけたかが見えるように1行ずつ書いた加減法です。多くの計算ツールはどちらか一方しか出しません。
2つの特別な場合は、失敗としてではなく名前をつけて示します。「解なし」と「無限に多い解」は本当の意味を持つ本当の答えであり、そこで肩をすくめるソルバーは問題を怖がるように教えてしまいます。ここでは係数から形を判定するので、出力する組がない場合でもどの場合なのかを言えます。
手順で見るべきところ
- 加減法は、一方の未知数の係数をそろえ、次に方程式を足すか引いてそれを消す方法です。方法の全部がこの一つの考えの繰り返しです。
- 足すか引くかは符号で決まります。そろえた係数の符号が同じなら引き、違えば足します。ここを逆にするのが最も多いミスです。
- 未知数が1つ求まったら、元の方程式のどちらかに代入して他方を求めます。どちらでも構いません。二つが違う答えを出すなら、それより前が間違っています。
- 平行な直線は、傾きが同じで切片が違うことを意味します。代数では 0 = -2 のような不可能な行として現れ、それはエラーではなく答えです。
- 未知数が3つでも同じです。1つ消して2元の連立にし、そこから仕上げます。図はそこで役に立たなくなります。3未知数は直線ではなく平面だからです。
使い方
1行に1つの方程式
紙に書くのと同じように、1行目に
2x + y = 5、2行目にx - y = 1。係数は分数でも小数でも構いません。答えと形を読む
組が上にあります。その下の一文が、この連立が幾何的に何なのかを述べます。1点で交わる、平行、または同じ直線が2回。
図を見る
直線が描かれ、交点が示されます。答えが意外なときは、代数より図のほうが早く説明してくれます。
加減法をたどる
番号つきの手順が、どの未知数をどう消し、何が残ったかを示します。再現を求められているのはこの方法です。
3つの場合
2元の連立はこのどれかであり、代数をする前に直線を見れば見分けられます。
| 場合 | 直線 | 例 |
|---|---|---|
| 解が1つ | Cross once | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| 解なし | Parallel, different intercepts | x + y = 3, x + y = 5 |
| 解が無限 | The same line twice | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| 方程式が1つだけ | A whole line of solutions | 2x + 3y = 7 |
| 未知数が3つ | Planes, not lines | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
例題
平行な直線: x + y = 3 と x + y = 5
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x + y = 3; x + y = 5引くと 0 = -2 になり、どんな数の組でも直せません。これはソルバーの失敗ではなく答えです。2直線は傾きが同じで切片が違うので決して交わらず、この連立には解がありません。
同じ直線を2回: x + y = 3 と 2x + 2y = 6
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x + y = 3; 2x + 2y = 62番目は1番目を2倍したものなので、同じ直線を描きます。その直線上のすべての点が両方を満たすため、解は無限にあります。図では直線が1本だけ見えます。実際に1本しかないからです。
未知数が3つ: x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2
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x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2z = 2 と x = y を代入すると3式が1式になり、x = y = 2 が出ます。ここでは図はありません（3未知数は直線ではなく平面です）が、消去は同じ手順で、1つずつ行います。
よくある間違い
- 引くべきところで足すこと。そろえた係数の符号が同じなら引きます。足して打ち消せるのは符号が逆のときだけです。
- 方程式の一部だけを掛けること。係数をそろえるために式を何倍かするなら、右辺を含むすべての項を同じだけ掛けます。
- たった今変形した式に代入すること。元の式のどちらかを使わないと、2つ目の条件を失うことがあります。
- 未知数を1つ求めて終わること。2元の連立には答えが2つあり、x だけ書くのは半分の解答です。
- 0 = -2 を計算ミスと読んでしまうこと。それは「解なし」です。同様に 0 = 0 は無限に多い解を意味し、何かが失敗した印ではありません。
- 1つの式だけで検算すること。求めた組を元の2式の両方に入れてください。片方だけ満たしても何も証明できません。
よくある質問
連立方程式はどう解きますか？
2つの式で一方の未知数の係数をそろえ、足すか引いてその未知数を消します。残った1つの式を解き、その値を元の式のどちらかに代入して他方の未知数を求め、最後に組を両方の式で確認します。
加減法と代入法の違いは何ですか？
加減法は式を組み合わせて未知数を消します。代入法は一方の式を一方の未知数について整理し、その式を他方に入れます。答えは常に同じです。係数がきれいなら加減法が短く、片方の式で未知数がすでに孤立しているなら代入法が楽です。
連立の「解なし」とはどういう意味ですか？
2直線が平行だという意味です。傾きが同じで切片が違うため、両方の上にある点がありません。代数では 0 = -2 のような不可能な等式として現れます。これは不完全な結果ではなく、完全な答えです。
「無限に多い解」とはどういう意味ですか？
2つの式が同じ直線を表しているという意味です。一方が他方の定数倍で、その直線上のすべての点が両方の式を満たします。したがって解は1組ではなく直線全体になります。よく1つの変数で表すよう求められます。
3元3未知数も解けますか？
解けます。消去も同じように表示されます。1つの未知数を消して2元の連立にし、それを解いて戻ります。グラフは2未知数のときだけ描きます。3未知数では平面になり、平面図は説明よりも誤解を招くからです。
なぜ直線を描くのですか？
図こそが意味だからです。加減法は信頼できますが、何が起きているかを隠します。1点で交わる2直線を見れば、なぜ答えがちょうど1つなのか、なぜ平行だと1つもないのかが一目でわかります。
分数や小数の係数も使えますか？
使えます。しかも厳密です。0.5x + y = 3 は2分の1として読まれ、分数係数の連立の答えは丸めた小数ではなく厳密な分数で出ます。
