平方数

「平方数」という言葉は、誰かが数の一覧に貼ったラベルで、こちらはそれを暗記 させられるだけ、という響きがあります。そうではありません。この名前は形の説明 であり、形が見えた瞬間、一覧は暗記の対象ではなくなります。

スライダーを動かしてください。毎回何が加わるかを見てください。

名前は文字どおりです

6^2 = 36 は「6が二乗という操作を受けた」という意味ではありません。 36個の単位正方形を取れば、一辺6の正方形に並べられるという意味です。35個では 並べられません。必ず穴かはみ出しが残ります。これが定義のすべてで、だから言葉が 抽象的な何かではなく「平方（square）」なのです。

同じ絵を逆から読むと平方根になります。sqrt(36) = 6 とは、 「36個の正方形が正方形をつくるなら、その一辺はいくつか」という問いです。ある数 が整数の平方根を持つのは、それが平方数であるときちょうどそのときで、二つの考え がいつも一緒に教えられるのはそのためです。

知っておく価値のある一覧

20項目あれば学校の問題はほぼ網羅できます。問題は、確かめられる答えから逆算して 作られるからです。

差は奇数です

スライダーの本当の目的はここにあります。5から6へ動かし、現れた影つきのL字を 数えてください。新しい辺に5個、上に5個、角に1個。合わせて11個です。

一般に、n^2 から (n+1)^2 へ進むと 2n+1 個加わります。これは必ず奇数です。ですから隣り合う平方数の差 は3、5、7、9、11、13…と並び、奇数を順に足すと平方数が順に得られます。

1 = 1、1 + 3 = 4、1 + 3 + 5 = 9、 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

これは表を暗算で延ばす速い方法でもあります。14^2 = 196 を知って いて 15^2 が欲しいなら、2*14 + 1 = 29 を足して 225です。

電卓なしで見分ける

二つのふるいでほとんど片づきます。

末尾の数字を見る。 どんな数でも二乗すれば末尾は0、1、4、5、6、9のいずれかで、 2、3、7、8にはなりません。ですから4398は平方数ではなく、計算は一切不要でした。 偶然ではありません。積の末尾は掛けた数の末尾だけで決まり、0から9を二乗しても この六つの末尾しか出てこないからです。

次に挟み込む。 200は 14^2 = 196 と 15^2 = 225 の 間にあるので、その平方になれる整数は残っていません。隣り合う二つの平方数の あいだにある数は、平方数ではありません。

なぜ何度も出てくるのか

平方数は、ある二次式がきれいに因数分解でき、別のものができない理由です。 x^2 - 49 は49が平方数なので二乗の差として分かれますが、 x^2 - 50 は分かれません。根号が簡単になるのも平方数のおかげで、 sqrt(75) が 5sqrt(3) になるのは、75の中に平方数25が 隠れているからにほかなりません。

ひとつ試す

sqrt(225)

そして逆向きのもの。調べものではなく方程式です。答えが二つあることに注意して ください。根号でいちばん間違えやすいのがここです。

x^2 = 49

7も-7も二乗すれば49になるので、どちらも解です。sqrt(49) という 記号は正のほうだけを表します。これは記号についての約束であって、方程式について の事実ではありません。