分母が違うたし算: 3/4 + 5/6
4 と 6 の最小公分母は12なので、分数は 9/12 と 10/12 になります。これで同じ大きさの部分になり、分子がたされて 19/12。帯分数では 1 7/12 です。なお分母を24にしても構いません。38/24 になり、余計な計算を経て同じ答えに約分されます。
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演算ごとに規則が違い、難しさはそこに集まっています
分数のたし算とひき算には共通分母が必要です。同じ大きさの部分どうしでなければまとめられないからです。かけ算にはそれが要りません。分子どうし、分母どうしをかければ終わりです。わり算は逆数をかけることです。4つの演算に3つの別々の規則。分数が実際より難しく見える理由はこれです。どれも難しくはありませんが、規則は互いに一般化しないので、ひとつずつ知る必要があります。
このページが示すのはそこです。各手順が適用している規則を名前で述べるので、「ここで共通分母は必要か」が勘ではなく文字で答えられます。たどる道は授業と同じです。まず帯分数を仮分数に、次にその演算の規則、次に約分、最後に答えが1より大きければ帯分数に戻します。
すべて厳密です。3分の1たす6分の1は2分の1で、0.49999999999999994 ではありません。分母が999983でも丸めで失われません。答えはまず分数で示します。問題が分数についてだったからです。小数と百分率は、採点がそれを求める場合のために隣に置きます。
手順で見るべきところ
- 共通分母が必要なのはたし算とひき算だけです。かけ算とわり算には決して必要なく、それでも探すのは無駄な手間です。
- 最小公分母は、両方の分母で割り切れる最小の数です。どの共通分母でも最終の答えは同じで、最小のものは数を小さく保つだけです。
- 分数を新しい分母に直すとき、分子も同じだけかけます。それが値を変えない理由です。
- 1より小さい数でわると、答えは必ず大きくなります。3/4 ÷ 1/2 = 3/2。これは誤りではなく、わり算の意味です。
- 答えは約分し切るまで終わりではなく、しばしば帯分数にするまで終わりではありません。問題が何を求めたか確認してください。
使い方
2つの分数を入力する
各分数の分子を上の欄、分母を下の欄に入れます。整数は上の欄だけに入れます。
演算を選ぶ
たす・ひく・かける・わる。下の道筋は選択で変わります。演算ごとに規則が違うからで、それが気づくべきことです。
答えとほかの表し方を読む
約分済みの分数が見出しです。その下に、同じ値の帯分数・小数・百分率があります。
途中式をたどる
各手順が何をしたか、なぜかを述べます。2回読むべきなのは、自分では思いつかなかった手順です。
4つの規則
演算ごとに1行。中央の列が規則、右の列が実際の数での見え方です。
| 演算 | 規則 | 例 |
|---|---|---|
| たす | Common denominator, then add the tops | 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 |
| ひく | Common denominator, then subtract the tops | 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12 |
| かける | Tops together, bottoms together | 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2 |
| わる | Multiply by the reciprocal | 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 |
| 約分する | Divide top and bottom by their GCF | 18/12 = 3/2 |
| 帯分数にする | Divide, keep the remainder on top | 19/12 = 1 7/12 |
| 小数にする | Divide the top by the bottom | 3/8 = 0.375 |
| 百分率にする | Multiply by 100 | 3/4 = 75% |
例題
かけ算: 2/3 × 9/4
共通分母も書き換えも不要です。そのままかけて 18/12、次に6で約分して 3/2。かける前に約分すること（3と9、2と4）もでき、その場合は直接 3/2 が出ます。同じ計算を賢い順番で行っただけです。
わり算: 3/4 ÷ 2/5
2つ目の分数をひっくり返してかけます。3/4 × 5/2 = 15/8。答えはもとのどちらの分数より大きく、1より小さい数でわるとまさにそうなります。おかしいと感じたら、3/4 の中に 1/2 がいくつ入るか考えてください。1つより多いはずです。
答えが整数になるとき: 2/3 × 3/2
そのままかけると 6/6 で、約分して 1。積が1になる2つの分数は互いに逆数で、わり算の規則はこの事実に立っています。2/3 でわることと 3/2 をかけることは同じ操作です。
よくある間違い
- 分母をたすこと。1/2 + 1/3 は 2/5 ではありません。たされるのは分子だけで、しかも分母がそろってからです。
- かけ算のために共通分母を探すこと。かけ算には必要ありません。その規則はたし算とひき算のものです。
- わり算で違う分数をひっくり返すこと。ひっくり返すのは2つ目、つまりわる数です。
- 分母を変えるとき分子を直さないこと。上と下を同じ数でかけないと、値が変わってしまいます。
- 約分せずに答えを書くこと。18/12 は値としては正しくても普通は正解になりません。3/2 が正解です。
- プラスをまたいで約分すること。(3 + 6)/6 で6を消してはいけません。約分できるのは分子全体の因数だけです。
分数のよくある質問
分数のたし算はどうしますか？
同じ分母にそろえ、分子をたしてその分母のままにします。分母をそろえるには2つの分母の最小公倍数を求め、各分数の分子と分母をそこに届くだけかけます。そのあと、両方を割る数があれば約分します。
分数のかけ算に共通分母は必要ですか？
必要ありません。分子どうし、分母どうしをかけて、そのあと約分します。共通分母が必要なのはたし算とひき算だけです。部分をまとめる演算であり、部分の大きさがそろっていなければならないからです。
分数のわり算はどうしますか？
2つ目の分数の逆数をかけます。ひっくり返してかけるだけです。3/4 ÷ 2/5 は 3/4 × 5/2 = 15/8 になります。1より小さい分数でわると答えが大きくなる理由もこれです。
最小公分母とは？
2つの分母がちょうど割り切る最小の数、つまり2つの分母の最小公倍数です。4 と 6 なら12。どの共通分母でも正しい答えになりますが、最小のものは数をできるだけ小さく保ちます。
分数の約分の仕方は？
分子と分母を最大公約数でわります。18/12 の最大公約数は6なので 3/2 になります。ここでの手順は使った約数を示し、もとから約分できない場合はそう伝えます。
答えを小数でも出しますか？
はい。帯分数と百分率も一緒に出します。分数を先に示すのは、それが厳密だからです。19/12 が答えで、1.583333 はその丸めです。小数が終わらない場合は、そうでないふりをせず「およそ」と示します。
負の分数も扱えますか？
扱えます。符号は分子でも、帯分数の整数部分でも、先頭でも構いません。-2 3/4 は「-2 に 3/4 をたしたもの」ではなく1つの負の量として扱います。驚くほど多くの計算機がこの読み方を誤ります。
