単位円

この表は、16個の特別角すべての sin と cos を、度数法と弧度法の両方で示します。tan も 表示したり、印刷して書き込める空欄の円に切り替えたりできます。

単位円の表

単位円の値の一覧

表のすべての値を一つの表にまとめました。tan は sin を cos で割ったものなので、cos が 0 になる角では値がありません。

なぜ点は (cos, sin) なのか

円の上で点をドラッグして、2本の破線の辺を見てください。

円の半径は 1 です。仕組みはそれだけです。中心から円まで、ある角で線を引き、その点から x 軸へ垂直な線を下ろします。すると斜辺が半径である直角三角形ができるので、斜辺は 1 です。

この三角形で、cos は隣辺を斜辺で割ったものです。隣辺は横の辺で、斜辺は 1 なので、cos は横の辺そのものです。同じ考えで、sin は縦の辺になります。だから点は (cos(x), sin(x)) です。横の距離が先で縦が後、x が y より先です。

単位円の覚え方：必要な数は三つだけ

第1象限に、円で使う値がすべてそろっています。

異なる値は三つだけです。1/2、√2/2、 √3/2 です。30° と 60° は同じ組を入れ替えたものになっています。 二つの角を足すと 90° なので、二つの三角形は同じ三角形を反対の端から見たものです。

象限ごとの符号

第1象限の外にある角は、どれもこの三つの数に符号をつけて使います。符号を求めるには 参照角、つまり線と x 軸のあいだの角を使います。150° は 180° に 30° 足りないので、 参照角は 30° で、値は 30° の値に新しい符号をつけたものです。

符号は点の位置で決まります。cos は横の距離なので、円の左半分では負になります。sin は 縦の距離なので、下半分では負になります。表では各象限に (cos, sin) の符号を示しています。

なので 150° は (−√3/2, 1/2) で、参照角が同じく 30° の 210° は (−√3/2, −1/2) です。

弧度法で見る単位円

一回転は 360° で、2π ラジアンでもあります。半径 1 の 円の周の長さが 2π だからです。1 ラジアンは、長さが半径一つ分の弧に 対する角です。半回転は 180°、つまり π です。

そこから、特別角は半回転の分数になります。30° は 180° の 6 分の 1 なので π/6、45° は 4 分の 1 で π/4、60° は 3 分の 1 で π/3 です。分母はその角が半回転にいくつ入るかを表し、分子はその 数を数えます。150° は半回転の 6 分の 5 なので 5π/6 です。

単位円と tan

tan は比 sin(x)/cos(x) で、中心から点への線の傾きです。45° では sin と cos が等しいので、tan はちょうど 1 です。30° では √3/3、60° では √3 です。

90° では点は真上の (0, 1) にあるので、cos は 0 で tan は定義されません。1 を 0 で割った 数は存在せず、垂直な線には傾きがないからです。270° でも同じです。それ以外では tan は 符号のきまりに従います。sin と cos の符号が同じところ（第1象限と第3象限）では正、違う ところでは負です。表の tan 版にはすべての値が載っています。

単位円のクイズと練習

上のドラッグできる円を 出題して に切り替えると、値が隠れます。答えを言ってから 確かめてください。または、次の問題に何も見ずに答えてみましょう。

cos(60°)

紙で練習するなら、空欄の表を印刷して16個の点をすべて書き込みます。何も見ずに2分以内で できれば、単位円は覚えています。