半径 3 から
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r = 3C = 2π · 3 = 6π ちょうど、約 18.8496。面積は π · 3² = 9π、約 28.27。面積では半径が2乗され、円周ではされないことに注目してください - この一つの違いが、この話題で起こる失敗のほとんどです。
円周の計算機
円のどれか一つの量から残りすべてを、π は π のまま。
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たった一つの数が円を完全に決める
円の自由度は一つだけなので、どれか一つの量が他のすべてを決めます。半径 r から: 直径は 2r、円周は 2πr、面積は πr²。この三つの公式が全部で、はっきりさせておくべきことは一つ - 円周は半径を1回使い、面積は2回使う(2乗であり、2倍ではない)ということだけです。
π は円を円たらしめるものです: どんな円周もその円自身の直径に対する比で、これまで描かれたすべての円で同じ数。無理数なので正確な小数表示がなく、だからこのページは文字 π のまま保ちます。円周 6π は正確な答えで、18.85 は丸め。問題がどちらかを求めているとき、この二つは交換できません。
この正確さは逆方向にも働きます。円周を 10 とすれば半径は 5/π - 依然として正確で、れっきとした実数 - 面積は 25/π になります。競合する計算機はどれも最初の一歩で 3.14159 を掛けてしまい、学校の問題が求める答えを返せません。
ここに注目
- C = 2πr と C = πd は同じ公式です。d = 2r だからです。先に変換せず、与えられた量をそのまま使ってください。
- 面積は半径を2乗し、円周はしません。半径を2倍にすると円周は2倍、面積は4倍になります。
- π は長さではなく比です: 円周÷直径で、どの円でも同じ値。この事実の上に主題全体が乗っています。
- 6π は正確で、18.85 は違います。問題が小数を求めるか、使う π の値を与えている場合を除き、π は残してください。
- 円周から逆算すると 2π で割ることになり、π が分母に残ります。5/π は普通の数で、およそ 1.59 です。
- 単位は与えた量に従います: 半径がセンチメートルなら円周もセンチメートル、面積は平方センチメートルです。
円周の求め方
何が与えられたか見きわめる
半径、直径、円周のどれか。文章題では取り違えやすく、公式が半径を求めている場所に直径を入れると答えが2倍になります。
直径なら半分にする
r = d/2。これを先にやれば、公式を二つ覚える代わりに一つで足ります。
2π を掛ける
C = 2πr。π はいまのところ文字のままに - 2π · 3 は 6π で、これで完成した正確な答えです。
小数はそのあとで
問題が数を求めるなら、いちばん最後に 3.14159… を掛けます。早く丸めると、問題の残りが必要とする精度を失います。
逆に進むには割る
円周から r = C/(2π)。π は分母に残り、それが正確です。ここで 3.14 で割るのが、精度をふつう捨ててしまう場所です。
数で見る円
よく使う半径についての同じ四つの量。正確な列が答えで、小数はその丸めです。
| 半径 | 直径 | 円周 | 面積 | 円周(小数) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
解いてみる
直径 10 から
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d = 10まず半分に: r = 5。すると C = 2π · 5 = 10π、A = π · 5² = 25π。直径をそのまま C = 2πr に入れると 20π - ちょうど2倍で、ここで最も多い間違いです。
円周 10 から逆算
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C = 10r = 10/(2π) = 5/π で、正確に、およそ 1.5915。面積は π · (5/π)² = 25/π、約 7.96。正確さを保つのは π を分母に置いたままにすることです。先に 10 を 6.28 で割っていたら、面積を始める前に丸めていたことになります。
分数の半径: 1/2
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r = 1/2C = 2π · 1/2 = π ちょうど - 半径 2分の1 の円の円周はぴったり π です。面積は π/4。分数は分数のままなので、途中で何も失われません。
6π が 18.85 ではない理由
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r = 36π は一つの正確な数です。18.8496 は小数第4位まで一致して、そこから永遠にずれていきます。π が無理数だからです。問題が「π を用いて答えよ」と言うなら、答えは 6π で、18.85 は不正解になります。
よくある間違い
- 直径を C = 2πr に入れる。答えが2倍になります。まず半径に直すか、C = πd を使ってください。
- 円周のために半径を2乗する。C = 2πr は r を1回使い、2乗するのは面積だけです。
- 最初に π を丸める。小数がほしければ最後に掛けて、途中の段階は正確に保ってください。
- 22/7 を π のように使う。千分の一ほどずれた粗い近似です - 暗算にはよく、正確な答えには誤り。
- 面積の単位が平方であることを忘れる。半径がメートルなら円周はメートル、面積は平方メートルです。
- 円周と他の図形の周の長さを混同する。ここでの円周は特に円のまわりのこと。直線の辺をもつ図形には周の長さがあります。
円周についてよくある質問
円周の公式は?
半径から C = 2πr、直径からは同じ意味の C = πd。直径は半径2つ分だからです。半径 3 なら 6π、約 18.85。実際に与えられている量を使ってください。
円周から半径を求めるには?
2π で割ります: r = C/(2π)。円周 10 なら r = 5/π、約 1.59。π を分母に残すと答えは正確になります - 先に 3.14 で割ると、終わる前に丸めてしまいます。
円周と面積の違いは?
円周は縁に沿った長さで、半径を1回使います: 2πr。面積は内側の広さで、半径を2回使います: πr²。だから半径を2倍にすると円周は2倍、面積は4倍になります。
「π を用いて」とはどういう意味?
π を掛け切らずに記号のまま残すこと: 18.85 ではなく 6π。それが正確な答えで、試験問題がよく求めるのは、電卓なしで検算できるからであり、18.85 が近似にすぎないからです。
22/7 は π と同じ?
違います。22/7 は 3.142857…、π は 3.141592… なので、小数第3位から食い違います。暗算には便利な近似で、正確さが要るときは誤った答え。π は無理数で、正確な分数の値をそもそも持ちません。
なぜ π はどの円でも同じ?
すべての円は同じ形を拡大縮小したものにすぎず、拡大縮小は円周と直径を同じ倍率で掛けるので、その比は決して変わりません。その一定の比が π そのもので、だからあらゆる円の公式に現れます。
円周から直径を求めるには?
π で割ります: d = C/π。C = πd が直接成り立つので、二段階ではなく一段階です。円周 10 なら直径は 10/π、約 3.18 - その半分が半径です。
この計算機は面積を入力に取れますか?
取れません。意図的です。面積からは r = √(A/π) となり、これは分数でも「分数×π の累乗」でもありません。受け付ければ、丸めた答えか偽の正確さのどちらかになります。面積はつねに表示しますが、入力ではありません。
