整数解が二つ：x² - 5x + 6 = 0
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a = 1, b = -5, c = 6判別式は (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 です。その平方根はちょうど 1 なので、解は (5 + 1)/2 = 3 と (5 - 1)/2 = 2 になります。判別式が平方数なので二つの解はどちらも有理数で、方程式は (x - 3)(x - 2) = 0 と因数分解もできます。因数分解のほうが速かった場合です。
二次方程式の解の公式 計算ツール
どんな二次方程式も、途中の式をすべて書き出して厳密な値で解きます。
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解の公式が実際にしていること
二次方程式とは、a が 0 でないとき ax² + bx + c = 0 の形に書ける方程式のことです。解の公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a は、その全部を例外なく解きます。これは珍しいことで、味わう価値があります。因数分解は数が都合よくできているときだけ通用し、平方完成はいつでも通用するけれど習熟が必要で、公式はいつでも通用して必要なのは丁寧さだけです。
本当の仕事をしているのは根号の中です。b² - 4ac は判別式と呼ばれ、その符号はほかの計算をする前に答えの形を決めてしまいます。正なら解は二つ、0 なら重解が一つ、負なら実数解はありません。先に判別式を見ればどんな答えを予想すべきか分かり、それが後で計算違いに気づく最短の道になります。
公式はひと手ではありません。それがこの公式について最もよくある誤解です。これは短い手順です。代入し、判別式を評価し、根号をとり、± を分け、それぞれの枝を簡単にする。この計算ツールは五つすべてを歩くので、自分ならどこで間違えたかが見えます。
各段で見るべきところ
- 負の係数はすべて括弧に入れて代入されます。b = -5 のとき -b は -(-5) = 5 で、この符号を落とすのが単元全体で最も多い間違いです。
- 判別式は何よりも先に、独立した行で計算されます。その符号が答えの形です。
- √12 はそのまま残したり 3.464 にしたりせず、2√3 に簡約されます。厳密な根号が答えであり、小数はその測定値です。
- ± は明示的に二つの場合に分けられます。二つの別々の計算を表す略記であって、最後まで引きずれる演算ではありません。
- 二つの解がどちらも有理数のときは、検算として因数分解した形が示されます。展開すれば出発点の方程式に戻るはずです。
二次方程式を公式で解く手順
3つの係数を入力する
a、b、c を各欄に入れます。整数、小数、1/2 のような分数が使えます。項がないときは係数 0 です。x² - 4 = 0 なら b は 0 です。
または方程式をまるごと貼り付ける
方程式欄に
2x^2 - 5x + 2 = 0のように入れて「読み取る」を押します。両辺の項は自動で左辺にまとめられるので、3x^2 = 2x + 1でも動きます。解より先に判別式を読む
4番目の段で b² - 4ac が出ます。その符号を確かめ、スクロールする前に答えの形（解が二つ、一つ、なし）を予想してください。
自分の計算を行ごとに照合する
答えが合わなかったとき役に立つ問いは、どの数値が正しいかではなく、どの段で道が分かれたかです。その行を見つければ、間違いは自ずと説明されます。
判別式が教えてくれること
b² - 4ac の値は、根号を一つもとる前に答えの形のすべてを決めます。
| 判別式 | 実数解 | グラフ | 例 |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | 異なる二つの実数解 | x 軸と2回交わる | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | 重解が一つ | x 軸に1回接する | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | 実数解なし | x 軸に届かない | x² + 2x + 5 = 0 |
| 平方数 | 有理数の解が二つ | 分数か整数の2点で交わる | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| 正だが平方数でない | 無理数の解が二つ | 根号の2点で交わる | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
解いてみる例
分数の解：2x² - 5x + 2 = 0
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a = 2, b = -5, c = 2判別式は 25 - 16 = 9 なので √9 = 3、解は (5 + 3)/4 = 2 と (5 - 3)/4 = 1/2 です。二つ目の解が 1/2 のまま残り、決して 0.5 と表示されないことに注目してください。分数が厳密な値で、小数はたまたま短くなった近似にすぎません。
無理数の解：x² - 4x + 1 = 0
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a = 1, b = -4, c = 1判別式は 16 - 4 = 12 で、平方数ではありません。√12 は 2√3 に簡約されるので、解は (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3 です。たいていの計算機が 3.7320508 と表示しはじめて役に立たなくなるのがここです。答えは 2 + √3 で、どんな小数もその丸めです。
実数解なし：x² + 2x + 5 = 0
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a = 1, b = 2, c = 5判別式は 4 - 20 = -16 です。実数を二乗して負になることはないので方程式に実数解はなく、計算はそこで止まります。放物線はまるごと x 軸の上にあります。課程が複素数まで進んでいれば解は -1 ± 2i ですが、それを答えと数えるかどうかは、どの数の体系で考えるよう教わったかによります。
よくある間違い
- -b の符号を落とす。b = -5 なら -b = +5 です。代わりに -5 を代入するのが、もっともらしいけれど誤った解の組を生む間違いです。
- a が負になりうることを忘れる。-x² + 2x = 0 では a は -1 で、分母の 2a は -2 です。
- 分子の一部だけを割る。(4 ± 2√3)/2 では 4 も 2√3 も 2 で割ります。4 だけ半分にするのは非常によくある不注意です。
- ± を最後まで引きずって一つの答えとして扱う。これは別々に仕上げるべき二つの計算を表しています。
- a = 0 のときに公式に頼る。その方程式は一次で、公式は 2a すなわち 0 で割ってしまいます。
- x = (5 + 1)/2 で止める。これはまだ答えではなく、やり残した計算です。
二次方程式のよくある質問
二次方程式の解の公式とは何ですか？
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a です。a が 0 でない ax² + bx + c = 0 の形をした方程式すべての解を与えます。一般形に平方完成を行って導かれるので、都合のよい数だけでなく普遍的に通用します。
この計算ツールは無料ですか。途中式も無料ですか？
どちらも無料で、登録も不要です。これをはっきり言うのは、段階的な解説で最も知られた二つのサイトが、答えを見せてからその道筋を見るのに有料会員を求めるからです。このページの意義はまさに、途中式こそ役に立つ部分だという点にあります。
なぜ 3.732 ではなく 2 + √3 と表示するのですか？
2 + √3 が答えで、3.732 はその丸めだからです。課題が厳密な値を求めているなら、小数は不正解になります。グラフや測定を確かめたいときのために、近似値は下に併記しています。
判別式が負のときは何を意味しますか？
方程式に実数解がないという意味です。放物線は x 軸と交わりません。複素数を導入した課程では a ± bi と書ける解が二つありますが、それまでは「実数解なし」が完全で正しい答えです。
公式を使うべきですか、因数分解すべきですか？
数秒で因数が見えるならまず因数分解を。そのほうが速く、間違いも少ないです。数が素直でないとき、x² の係数が 1 でないとき、解が無理数だと疑うときは公式を使ってください。公式は決して失敗しませんが、因数分解は因数分解できるように作られた方程式でしか通用しません。
係数に分数や小数を使えますか？
使えます。分数は 1/2 や 3/4、小数は 0.5 のように入力してください。小数は内部で厳密な分数に変換されるので、0.1 は浮動小数点の計算機が使う二進近似ではなく、ちょうど十分の一として扱われます。
方程式を ax² + bx + c = 0 の形にするには？
すべての項を片側に移して反対側を 0 にし、同類項をまとめます。3x² = 2x + 1 なら両辺から 2x と 1 を引いて 3x² - 2x - 1 = 0 になります。元の式を貼り付ければ、このページの方程式欄がその整理を代わりに行います。
