指数法則
誰もがカードに写し、そして半分は間違って使う五つの規則。繰り返しの掛け算として書き下せば、どれも暗記する必要はありません。
最終更新
誰もが指数法則をカードに書き写し、一学期後にはその半分が見当違いの場面で使われ ています。これは記憶の問題ではありません。暗記しただけの規則は、それが当てはまる かどうかを判断する手段を与えないので、表面的に当てはまりそうな場所すべてで使われ てしまうのです。
直し方は、これらを「規則」として扱うのをやめることです。下からひとつ選び、真ん中 の行を読んでください。
真ん中の行が証明です。累乗を繰り返しの掛け算として書き下せば、どの規則も当たり前になります。つまり記憶に頼る必要はありません。
どの規則も「数える」議論です
a^3 は略記です。実際に言っているのは a · a · a、つまり a の3つのコピーを掛け合わせたものです。 規則の両辺をこう書き下してしまえば、規則は主張ではなく数え上げになります。
**掛ける：**2つのコピーの隣に3つのコピー、合わせて5つのコピー。
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
規則がそう言ったから指数を足したのではありません。その行に a がいくつ残ったかを 数えたから足したのです。
**割る：**5つのコピーの上に2つのコピー、2つが約分されます。
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
累乗の累乗：「2つのコピー」の3つ分は6つのコピー。
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
三つの規則、議論はひとつ。「足す」と「掛ける」を取り違えるのは、数え上げでは なく動詞のほうを覚えてしまったからです。
0乗と負の指数は選ばれたのではなく強制されています
この二つは誰かが決めた約束のように見えます。違います。
a3/a3 を見てください。何であれ自分自身で割れば1です。 しかし商の規則はそれを a^(3-3) = a^0 だと言います。どちらも同じ 割り算のことなので、規則を矛盾なく保つ値は a^0 = 1 しかありません。
さらに下へ進みます。一段下がるごとに、もう一度 a で割ることになります。
| 累乗 | a = 2 のときの値 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
0のところで向きは変わりません。半分にする動きがそのまま続くだけです。負の指数 とはそれだけのことで、a^-n = 1/a^n です。とりわけ、 負の数ではありません。2^-3 は 1/8 であり、 正の数です。
名前をつけておくべき三つの誤り
底が違えばまとめられません。2^3 · 3^4 はそのままです。 規則は同じもののコピーを数える話であり、ここでは違う二つを数えています。
項を足すことは掛けることではありません。x^2 + x^3 は x^5 ではありません。書き下してみてください。2つのコピー足す3つの コピーは5つのコピーではなく、異なる二つの量の和です。約分も統合も起きません。
累乗は積には分配され、和には分配されません。 (ab)^2 = a2b2 は正しく、ab の2つのコピーは a が2つと b が2つです。しかし (a+b)^2 は a^2 + b^2 ではなく a^2 + 2ab + b^2 に展開され、その真ん中の項こそ分配法則が 予告しているものです。
ひとつ試す
電卓に手を伸ばしたなら、今度は約分でやってみてください。3が4つ、その下に3が 2つ。残るのは2つで、3の2つ分は9です。底が3ではなく x になっても通用するのは こちらのやり方です。
この先どこへつながるか
指数法則は、指数表記の計算を動かし、根号を分数の指数に変え、対数が掛け算を 足し算に変えることを可能にしています。三つとも、同じ五つの規則を別の向きから 読んだものです。暗記ではなく議論として持っておくべき十分な理由でしょう。
よくある質問
- 指数法則とは何ですか。
- ほとんどを支えるのは五つです。同じ底の累乗を掛けるときは指数を足す、割るときは引く、累乗を累乗するときは掛ける、0乗は1、負の指数は正の指数の逆数。五つとも、累乗を繰り返しの掛け算として書き下せば出てきます。
- なぜ0乗は1になるのですか。
- 商の規則のためです。ある数を自分自身で割れば1ですが、商の規則によればその同じ割り算は「底の、指数から同じ指数を引いた累乗」、つまり0乗です。二つは同じ割り算を述べているので、aの0乗は1でなければなりません。決めごとではなく強制された結論です。唯一の例外は0の0乗で、これは定義されません。
- 負の指数は何を意味しますか。
- 逆数であって、負の数ではありません。2の-3乗は1/8で、正の数です。指数が下がるにつれて底で割り続けます。8、4、2、1と来て、1を越えても続けば1/2、1/4、1/8です。負の指数は、掛ける代わりに何回割るかを表します。
- 指数を足してよいのはどんなときですか。
- 底がまったく同じで、掛け算をしているときだけです。2の3乗かける2の4乗は2の7乗ですが、2の3乗かける3の4乗はまとめられません。数えているものが違うからです。項を足すときに指数を足すのがここで最も多い誤りで、xの2乗足すxの3乗はxの5乗ではありません。
- (a + b) の2乗は a の2乗足す b の2乗ですか。
- 違います。この誤りは名前をつけておく価値があります。2乗は積には分配されますが、和には分配されません。(ab) の2乗は確かに a の2乗かける b の2乗ですが、(a + b) の2乗は a の2乗足す 2ab 足す b の2乗に展開されます。抜け落ちている真ん中の項こそ、面積の図が見せてくれるものです。
次は自分の手で、本気で
他人の計算を読むことと、自分で解けることは別です。Coddy の数学コースは一手ごとに正しさを確認するボードで進めるので、今の実力がはっきり分かります。
自分の数で試してみますか？
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