テストの得点85、平均70、標準偏差6
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x = 85, μ = 70, σ = 685 − 70 = 15、15 ÷ 6 = 5/2なので、z = 2.5。2.5の左側の面積は0.9938なので、この得点はおよそ99.4パーセンタイルにあります: 100人に1人未満しか、これより高い点を取っていません。
zスコア計算ツール
値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを厳密に、対応するパーセンタイルつきで。
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zスコアは標準偏差を単位にした距離
分布から任意の値を取り、平均を引き、標準偏差で割る。結果は、その値が中心から標準偏差いくつ分、どちらの方向に離れているかです。z = 2は平均より2標準偏差上、z = −0.5は0.5標準偏差下を意味します。公式はそれだけで、一度は手で計算する価値があります。信頼区間から仮説検定まで、統計学の後に出てくるあらゆる考え方は、姿を変えたzスコアだからです。
zスコアが重要なのは、あらゆる正規分布を1本の物差しの上に載せるからです。平均70、標準偏差6のテストで85点ならz = 2.5。平均175、標準偏差6の集団で身長190 cmもz = 2.5です。どちらも同じパーセンタイル、およそ99.4パーセンタイルにあり、1枚の表が両方に使えます。このページはその表をあなたの代わりに読み、値より下の面積を塗った曲線を描き、上側の割合と、平均からその距離の範囲内にある割合も報告します。
ここでの算術は厳密なままです。15 ÷ 6のzは5/2で、ページは5/2を、その横に2.5を添えて表示します。数字がきれいに割り切れないときに丸めなければならない小数ではなく。パーセンタイルは曲線の下の面積なので必然的に小数になり、そのように表記されます。
zスコアについて知っておくこと
- 符号がどちら側かを教えます。負は平均より下、正は上。z = 0は平均そのものです。
- ほぼすべてが3の範囲内にあります。正規分布する集団の約68%が1標準偏差以内、95%が2以内、99.7%が3以内です。z = 4は本当に稀です。
- パーセンタイルは左側の面積です。z = 1.28はおよそ90パーセンタイル、1.645は95、2.33は99です。
- 同じ公式が逆向きにも使えます。与えられたzでの値は、平均 + z × 標準偏差です。これがカットオフの決め方です: テストの上位5%は、平均 + 1.645σから始まります。
- zスコアは分布がおおむね正規であることを前提にします。スコア自体は常に計算できますが、パーセンタイルに意味があるのは釣鐘型が成り立つときだけです。
zスコアを手計算で求める方法
値から平均を引く
符号を保ちます。平均より下の値は負の差になり、その符号は答えまで引き継がれます。
標準偏差で割る
母標準偏差があればそれを、なければ標本標準偏差を使います。割り切れなければ結果は厳密なまま保ちます。
正規曲線からパーセンタイルを読む
zの左側の面積が、あなたの値より下にある集団の割合です。表に載っていますが、このページは直接計算します。
逆向きには、掛けて足す
値 = 平均 + z × 標準偏差。パーセンタイルのカットオフを得点に戻すのはこの方法です。
よく使うzスコアとそのパーセンタイル
標準正規曲線でzの左側の面積。
| z | パーセンタイル | 上側の割合 | 使われる場面 |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | 2標準偏差下 |
| −1 | 15.9% | 84.1% | 1標準偏差下 |
| 0 | 50% | 50% | 平均 |
| 1 | 84.1% | 15.9% | 1標準偏差上 |
| 1.28 | 90% | 10% | 上位10%のカットオフ |
| 1.645 | 95% | 5% | 片側5%検定 |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | 両側5%検定 |
| 2.33 | 99% | 1% | 上位1%のカットオフ |
計算例
測定値48、平均50、標準偏差2.5
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x = 48, μ = 50, σ = 2.548 − 50 = −2、−2 ÷ 2.5 = −4/5なので、z = −0.8。測定値の約21%がこれより低いです。負のzは悪いzではなく、単に真ん中より下というだけです。
平均1000、標準偏差150で、上位5%のカットオフとなる得点は?
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z = 1.645, μ = 1000, σ = 150逆の問いです。上位5%はz = 1.645から始まり、1000 + 1.645 × 150は約1247です。ページを「zスコアから値を求める」に切り替えると、代入の過程が表示されます。
zスコアのミス
- 標準偏差ではなく分散で割ること。分散は2乗なので、答えはσ倍ずれます。
- 符号を落とすこと。z = −1.5とz = 1.5は7パーセンタイルと93パーセンタイルで、同じ場所ではありません。
- 表の違う側を読むこと。左側の面積を載せた表、平均とzの間の面積を載せた表、右側の裾を載せた表があります。手にしている表がどれかを知っておいてください。
- 表を引く前にzを丸めること。z = 1.96を2.0に丸めると、パーセンタイルは97.5から97.7に動きます。カットオフでは、それは実在する人の差です。
- 正規からほど遠い分布にzスコアを使うこと。数字は計算できますが、パーセンタイルは作り話です。
zスコアのよくある質問
zスコアの公式は何ですか?
zは、xから平均を引き、全体を標準偏差で割ったものです。記号では z = (x − μ) / σ。結果は、値xが平均から標準偏差いくつ分離れているかで、上なら正、下なら負です。
zスコアをパーセンタイルに変換するにはどうすればいいですか?
パーセンタイルは、標準正規曲線でzの左側の面積です。z = 0は50パーセンタイル、z = 1は約84、z = 2は約97.7パーセンタイルです。上に値を入力すると、ページは曲線上でその面積を塗り、数値を表示します。
良いzスコアとはどのくらいですか?
何を測っているかに完全に依存します。テストなら、高い正のzが良い。血圧の測定値や配達時間なら、ゼロに近いzが良く、どちらの方向でも大きければ警告です。zスコアは値がどれだけ珍しいかを語るのであって、珍しいことが歓迎されるかどうかは語りません。
zスコアは負になりますか?
はい。負のzスコアは値が平均より下にあることを意味します。z = −1は1標準偏差下で、正規分布する集団の約16%がそれより低い位置にあります。
zスコアから元の値を求めるにはどうすればいいですか?
公式を並べ替えます: x = μ + zσ。zスコアに標準偏差を掛けて平均を足します。ページを逆モードに切り替えると、代入がステップごとに表示されます。
zスコアとtスコアの違いは何ですか?
zスコアは既知の母標準偏差と正規曲線を使います。t統計量は標本標準偏差とt曲線を使い、その厚い裾は、同じデータからσを推定することによる余分な不確実性を織り込んでいます。大標本では両者は一致し、小標本ではtが正直な選択です。
このページはなぜzスコアを分数のまま表示するのですか?
厳密だからです。丸めたzは丸めたパーセンタイルになります。z = 5/2はどちらにせよ2.5ですが、z = 7/3は2.33ではありません。このページは小数が答えであるかのように装うより、7/3をその横の2.3333とともに表示することを選びます。
