教科書のリスト: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
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2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 98個の値の合計は40なので平均は5。偏差は −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4(当然のように合計0)で、その2乗の合計は32。n = 8 で割ると分散は4、平方根はちょうど2です。標本なら 32/7 で、約2.138になります。
標準偏差の計算機
偏差の表を1行ずつ - 実際に採点される部分です。
最終更新
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標準偏差とは、平均からの平均的な距離
数のリストとその平均をとります。各値はその平均からある距離だけ離れており、標準偏差はおおよそその距離の典型的な大きさです。距離をそのまま平均するわけにはいきません - 平均より上と下の距離はちょうど打ち消し合って0になるからです。そこでまず各距離を2乗し、2乗の平均をとり、最後の平方根が2乗を打ち消して答えを元の単位に戻します。
これが式のすべてで、実際に採点されるのは真ん中の部分です: 各値から平均を引いた表と、その差の2乗。このページはその表を省略せずに出し、二つの分散が割る合計も示します。競合の計算機はシグマだけ出して終わり - つまり生徒が電卓でもできた唯一の部分です。
割る数は二つあり、その違いは重要です。あなたの数値が集団の全体そのもの(母集団)なら合計を n で割ります。より大きな何かを代表する標本なら n − 1 で割ります。標本の平均は自分自身の値に少し近づきすぎるので、1つ小さい数で割ることでそれを補正するのです。ここでは常に両方を表示するので、割る数はページではなくあなたが選ぶことになります。
ここに注目
- 偏差の合計はつねに0です。偶然ではなく、それが平均の定義そのものであり、平均する前に2乗が必要な理由でもあります。
- 分散は平方根をとる前の答えで、その単位は2乗されています: キログラムは平方キログラムになり、だからキログラムに戻すために根をとります。
- 母集団の割る数は n、標本は n − 1 です。標本の答えはつねに大きく、リストが長くなるほど差は縮まります。
- 標準偏差が負になることはなく、0になるのは全部の値が同じときだけ - 測るべきばらつきがありません。
- 分散と違い、データと同じ単位を持ちます。ふつう引用されるのがこちらである実務的な理由です。
- 外れ値が一つあるだけで大きく動きます。距離は数える前に2乗されるからです。この敏感さは、外れ値に気づきたいときは長所、そうでないときは厄介です。
標準偏差を手で求める手順
平均を求める
すべての値を足し、個数で割ります。正確に保ってください - 平均が 7/3 なら 2.33 と書かないこと。その誤差はこれから2乗されます。
各値から平均を引く
これが偏差です。負になるものもありますが問題ありません。検算として、合計はちょうど0になるはずです。
各偏差を2乗する
2乗すると符号が消え、大きな距離により重みがつきます。2乗を合計してください: その合計が偏差平方和です。
n または n − 1 で割る
これらの値が関心のある集団の全体なら n で、より大きな何かからの標本なら n − 1 で。結果が分散です。
平方根をとる
それが標準偏差です。分散と違って、元のデータと同じ単位になっています。
同じリストで母集団と標本を比べる
同じ数値を二つの割る数で。リストが長くなるほど二つの答えの差が縮まることに注目してください。
| 値 | 平均 | 偏差平方和 | σ(母集団) | s(標本) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
解いてみる
標本の割る数が大きい理由: 1, 2, 3, 4
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1, 2, 3, 4平均は2.5、偏差平方和は5。4で割れば分散は 5/4、標準偏差は √5/2 ≈ 1.118。3で割れば 5/3 で約1.291。標本の答えがつねに大きいのは、標本の平均が自分自身の値をやや強く抱き込むからです。
小数ではない正確な答え: 1, 2, 4
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1, 2, 4平均は 7/3 で、2.33 ではありません。偏差は −4/3、−1/3、5/3 で、2乗は 16/9、1/9、25/9、合計 14/3。先に平均を丸めていたら、2乗を始める前に1桁を捨てていたことになります - このページの表の各行が分数なのはそのためです。
ばらつきなし: 3, 3, 3
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3, 3, 3すべての偏差が0なので、偏差平方和も標準偏差も0。標準偏差が0になるのはこの場合だけです - 「数が小さい」からではなく「すべての値が同じ」だから。
外れ値がすること: 100, 100, 100, 200
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100, 100, 100, 2003つの値はぴったり一致し、1つはしない。標準偏差は約43 - 全範囲の4分の1を超えます。距離を2乗することがこの1つの遠い値にこれほどの重みを与えており、この尺度が外れ値の検出に強い理由そのものです。
よくある間違い
- 2乗せずに偏差を平均する。どんなリストでも合計は0なので、答えはいつでも0になってしまいます。
- 引く前に平均を丸める。平均が 7/3 なら 2.33 で計算すると後続の2乗すべてが壊れます - 最後まで正確に保ってください。
- 割る個数を間違える。n は集団全体、n − 1 は標本用です。標本データに n を使うと、毎回ばらつきを小さく見せます。
- 分散を標準偏差として報告する。分散は平方根の前の段階で、単位は2乗されています - 一方が他方の丸めた版ではありません。
- 平方根をすっかり忘れる。答えがデータに対して大きすぎるように見えるとき、原因はふつうこれです。
- 負の偏差を誤りだと思う。半分は負になるはずで、どれも負でないなら平均の計算が間違っています。
標準偏差についてよくある質問
母標準偏差と標本標準偏差の違いは?
割る数です。母標準偏差は偏差平方和を n で割ります。値が集団の全体だからです。標本は n − 1 で割ります。標本の平均が自分自身の値に少し近づきすぎるため、1つ小さい数で割って補正するのです。標本の答えはつねに大きくなります。
どちらを使うべき?
あなたの数値が関心の対象そのもの(クラス全員の点数、6人の子ども全員の身長)なら母集団の式を。より大きな集団を代表するために選んだ標本なら n − 1 を使います。統計の課題はほとんど標本版を求め、試験問題はどちらが必要かをたいてい明記します。
手計算はどうやる?
平均を求め、各値から引き、それぞれを2乗し、2乗を合計し、n(または n − 1)で割り、平方根をとります。このページはその表を全部出すので、最後の数だけでなく各行を自分の計算と比べられます。
なぜ偏差を2乗するの?
そうしないと合計がちょうど0になるからです - 平均の定義そのものによって正負の距離が打ち消し合います。2乗は符号を消し、大きな距離により重みを与えます。だから外れ値が一つあるだけで標準偏差が大きく動くのです。
分散と標準偏差の違いは?
分散は2乗した偏差の平均、標準偏差はその平方根です。分散の単位は2乗されており(平方キログラム、平方センチメートル)解釈しにくいので、根をとって答えをデータの単位に戻します。
標準偏差が負や0になることはある?
負にはなりません - 2乗の平均の平方根だからです。0になるのは全部の値が同じときだけで、平均からの距離が測れる余地がない唯一の場合です。負の数が出たなら、表のどこかで符号が落ちています。
標準偏差は実際に何を教えてくれる?
典型的な値が平均からどれくらい離れているかを、おおよそ。釣鐘型の分布のデータでは、約3分の2の値が平均から標準偏差1つの範囲に、約95%が2つの範囲に入ります。だから「この値は珍しいか?」の物差しとして標準になっているのです。
なぜこのページは小数ではなく分数を出すの?
それが正確な答えだからです。1, 2, 4 の平均は 7/3 で、2.33 を土台にした2乗はどれもわずかに間違っています。小数は正確な値の代わりではなく隣に添えられ、根が無理数のときは近似と明記されます。
