同じ大きさの分数

2/3 と 8/12 は同じ数かと聞くと、たいてい少し間が空きます。 分子も分母も桁数も、似ているところがありません。それでも、四捨五入なしで完全に同じ量です。

理由は言葉にするより見るほうが簡単なので、長さとして示します。

変わらないのは塗られた長さ

上のバーは3つに切られ、そのうち2つが塗られています。下は同じバーを6つに切って4つを 塗ったものです。かける数を大きくすると下のバーは9、12、15区画に切られていきますが、 破線は一度も動きません。

この破線が考えの全部です。分数は長さであり、2つの数はそれをどう切ったかの説明に すぎません。 分母は全体をいくつに切ったかを、分子はそのうちいくつ取ったかを言います。 どの区画も半分に切れば、区画の数は2倍、1つの大きさは半分、取った数も2倍。打ち消し合う 2つの変化です。

つまり 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 で、この列は終わりません。どの分数にも 同じ大きさの表し方が無限にあります。

作り方: 分子と分母に同じ数をかける

分数を別の書き方にするには、両方に同じ数をかけます。

2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12

かける数は自由ですが、実際の問題では理由があって選ばれます。ふつうは特定の分母が 必要になるからです。三分の何かを12の上に書きたいなら、かける数は4です。 3*4 = 12 だからです。

大事な規則はひとつだけ。両方か、どちらもか。 分子だけにかければ 8/3 になり、4倍の大きさです。図の上のスライダーを動かして破線が飛ぶのを 見てください。1つの数だけを変えるとはそういうことです。

わり算も同じで、向きが逆になるだけです。8/12 の分子と分母を4で割ると 2/3。ここでも何も動いていません。

逆向きに読む: 約分

列を上ではなく下へたどることを約分といい、ほとんどの答えはこの形で求められます。 分子と分母を最大公約数で割ります。

両方を割り切る整数が1だけになったとき、その分数は既約です。表の中で見た目の違う 3つの分数が 2/3 になることに注目してください。まさにそこが要点で、 最初から同じ量が別の切り方で書かれていただけです。

公約数がすぐに見えないときは、段階的に取り出せます。24/36 は偶数なので2で割って 12/18、もう一度で 6/9、次に3で割って 2/3。3つの簡単な手順で着くのは、1つの うまい手順で着くのに劣りません。

そもそも何のために必要か

同じ大きさの分数は独立した単元ではありません。これがないと分数のたし算ができないから 存在します。

1/2 + 1/3 は数えられません。2分の1と3分の1は大きさの違う区画だからです。 両方を6の上に書き直せば — 1/2 = 3/6 と 1/3 = 2/6 — 同じ 大きさの区画になり、そのまま足せます: 3/6 + 2/6 = 5/6。

これから行うすべての通分は、同じ大きさの分数を2つ書くことです。だからこの考えが 最初に来ます。

やってみよう

18/24 を既約分数で書いてください。

9/12 になったなら、1回割って止まっています。9 と 12 にはまだ3という共通の因数が あります。両方を割り切る数が1だけになるまで続けてください。