요약값으로 구한 평균
plain
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%표준오차는 10 나누기 5이므로 2입니다. 자유도 24에서 95% t 임계값은 2.064이므로 오차한계는 약 4.13이고 구간은 45.87에서 54.13까지입니다. 대신 z를 쓰면 1.96 곱하기 2로 오차한계가 3.92가 되는데, 표본 25개에는 조금 좁습니다.
신뢰구간 계산기
90, 95, 99%에서 평균이나 비율의 구간을 오차한계 풀이와 함께.
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신뢰구간은 불확실성을 붙여놓은 추정값입니다
표본평균은 모평균에 대한 추측이고, 범위가 없는 추측은 확인할 수 없는 추측입니다. 신뢰구간이 바로 그 범위입니다: 추정값에 오차한계를 더하고 뺀 구간이죠. 오차한계는 임계값 곱하기 표준오차이고, 그 두 요소는 서로 다른 질문에 답합니다. 표준오차는 표본이 바뀔 때 추정값이 얼마나 움직이는지이고, 임계값은 원하는 신뢰수준에 닿기 위해 구간이 그 표준오차 몇 개만큼 뻗어야 하는지입니다.
평균의 경우 이 페이지는 표준 절차를 따릅니다. 원자료에서는 평균과 표본 표준편차를 정확하게 계산하며 표준편차는 근호 형태로 유지하고, 요약값에서는 당신이 준 숫자를 그대로 씁니다. 표준편차를 표본에서 추정했다면 임계값은 자유도 n 빼기 1의 t 곡선에서 나오는데, 이것이 정직한 선택이자 여기의 기본값입니다. 시그마를 알거나 n이 큰 경우를 위한 z 방식은 전환 한 번이면 됩니다. 비율의 경우 이 페이지는 두 개의 구간을 줍니다. 대부분의 교과서에 실린 Wald 구간과, 실제로 보고해야 할 Wilson 점수 구간입니다. Wald는 비율이 0이나 1에 가깝거나 표본이 작을 때 제대로 작동하지 않기 때문입니다.
답 아래에는 구간이 수직선 위에 그려지고 추정값이 표시됩니다. 구간의 그림은 숫자 두 개가 말하지 못하는 것을 말하기 때문입니다: 구간이 놓인 위치에 비해 얼마나 넓은지 말이죠. 4.9에서 5.1까지인 평균 구간과 2에서 8까지인 구간은 둘 다 구간이지만, 소수 셋째 자리까지 보고할 가치가 있는 건 한쪽뿐입니다.
신뢰구간에 대해 알아둘 것
- '95% 신뢰'는 이 구간이 아니라 방법에 대한 진술입니다. 이런 방식으로 구간을 여러 번 만들면 그중 약 95%가 진짜 값을 포함하고, 개별 구간 하나는 포함하거나 포함하지 않거나 둘 중 하나입니다.
- 수준이 높아지면 구간이 넓어집니다. 99% 구간은 표준오차 2개가 아니라 약 2.6개만큼 뻗으므로, 같은 데이터에서 95% 구간보다 3분의 1쯤 넓습니다.
- 폭은 n의 제곱근에 따라 줄어듭니다. 데이터가 네 배면 오차한계가 절반이 되고, 백 배면 10분의 1이 됩니다.
- 시그마를 표본에서 추정했다면 t를 쓰세요. n = 10에서 95% t 임계값은 1.96이 아니라 2.26이고, 아닌 척하면 구간이 너무 좁아집니다.
- 비율이라면 Wilson을 보고하세요. Wald 구간은 0 아래나 1 위로 뻗을 수 있고 성공 또는 실패가 10회 미만일 때 믿을 수 없습니다. Wilson은 가능한 범위 안에 머무르면서 약속한 포함률을 지킵니다.
신뢰구간 만드는 법
추정값을 구하세요
표본평균 또는 표본비율입니다. 가능하면 정확값으로 두세요. 이 페이지는 그렇게 합니다.
표준오차를 구하세요
평균이라면 표준편차 나누기 루트 n입니다. 비율이라면 p(1 − p) 나누기 n의 제곱근입니다.
임계값을 찾으세요
시그마를 추정한 평균이라면 자유도 n 빼기 1의 t 곡선에서 당신의 수준에 해당하는 값을 씁니다. 시그마를 알거나 비율이라면 정규곡선에서 90, 95, 99%에 대해 각각 1.645, 1.960, 2.576을 씁니다.
곱해서 오차한계를 구하고 더하고 빼세요
오차한계는 임계값 곱하기 표준오차입니다. 구간은 추정값 빼기 오차한계부터 추정값 더하기 오차한계까지입니다.
신뢰구간의 임계값
구간이 추정값 양쪽으로 표준오차 몇 개만큼 뻗는지입니다.
| 수준 | z | t, df = 5 | t, df = 10 | t, df = 30 |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 1.645 | 2.015 | 1.812 | 1.697 |
| 95% | 1.960 | 2.571 | 2.228 | 2.042 |
| 99% | 2.576 | 4.032 | 3.169 | 2.750 |
계산 예시
원자료로 구한 평균
plain
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9평균은 정확히 5이고 표본 표준편차는 4√14/7, 약 2.138입니다. 루트 8로 나누면 표준오차가 약 0.756이고, 자유도 7에서 t 값은 2.365이므로 95% 구간은 약 3.21에서 6.79까지입니다.
비율
plain
40 successes in 100 trials표본비율은 0.4입니다. Wald 구간은 0.4 플러스마이너스 1.96 곱하기 0.049이므로 0.304에서 0.496까지입니다. Wilson 구간은 0.309에서 0.498까지로, 가운데 쪽으로 살짝 밀려 있는데 그것이 가장자리에서 정직함을 지켜주는 보정입니다. 40과 60이 모두 10을 훌쩍 넘으므로 둘이 거의 일치하지만, 10번 중 3번 성공이라면 그렇지 않았을 것입니다.
신뢰구간에서 흔한 실수
- 진짜 평균이 이 구간에 있을 확률이 95%라고 말하는 것. 확률에 대한 진술은 반복 표본에 걸친 절차에 대한 것이지, 고정된 구간 하나에 대한 것이 아닙니다.
- 작은 표본에 z를 쓰는 것. 데이터에서 시그마를 추정한 n = 30 정도 아래에서는 t 임계값이 눈에 띄게 크고, z 구간은 너무 좁습니다.
- 드문 비율에 Wald 구간을 보고하는 것. 20번 중 2번 성공이면 Wald 구간이 0 아래로 내려갑니다. Wilson 구간은 그렇지 않고, 그쪽을 적어야 합니다.
- 표준오차를 구할 때 루트 n 대신 n으로 나누는 것. 오차한계가 터무니없이 작아집니다.
- 좁은 구간을 참된 구간으로 읽는 것. 폭은 정밀도이지 정확도가 아닙니다. 편향된 표본은 엉뚱한 숫자 주위에 좁은 구간을 만듭니다.
- 두 구간이 겹친다고 차이가 없다고 결론짓는 것. 두 95% 구간이 겹치면서도 평균의 차이는 유의할 수 있습니다. 차이 자체를 직접 검정하세요.
신뢰구간 자주 묻는 질문
95% 신뢰구간은 어떻게 계산하나요?
표본평균을 구하고, 표준편차를 n의 제곱근으로 나눠 표준오차를 구한 뒤, 95%에 해당하는 임계값(z라면 1.96, 표준편차를 추정했다면 자유도 n 빼기 1의 t 값)을 곱하고, 그 오차한계를 평균에 더하고 빼면 됩니다. 이 페이지는 각 단계를 한 줄씩 보여줍니다.
95% 신뢰구간은 실제로 무슨 뜻인가요?
그것을 만들어내는 방법이 반복 표본에 걸쳐 95%의 경우에 진짜 값을 붙잡는다는 뜻입니다. 이 특정 구간 안에 진짜 값이 있을 확률이 95%라는 뜻은 아닙니다. 그 값은 고정되어 있고, 구간은 포함하거나 포함하지 않거나입니다. 실용적으로 읽으면: 구간 안의 값은 데이터와 양립하고, 밖의 값은 그렇지 않다는 것입니다.
신뢰구간에서 z 대신 t는 언제 쓰나요?
표준편차를 같은 표본에서 추정했을 때는 언제나 t를 쓰는데, 그게 보통의 경우입니다. 모집단 표준편차를 알거나, n이 수백 이상으로 클 때의 근사로는 z를 씁니다. n = 10이면 2.26 대 1.96의 차이이고, 무시하기에는 큽니다.
오차한계란 무엇인가요?
구간 폭의 절반, 즉 임계값 곱하기 표준오차입니다. 여론조사가 인용하는 플러스마이너스 값이죠. 52%라는 결과에 오차한계 3%라면 구간이 49%에서 55%까지라는 뜻입니다.
이 페이지는 왜 비율에 구간을 두 개 보여주나요?
Wald 구간은 교과서 공식으로, p 플러스마이너스 z 곱하기 p(1 − p) 나누기 n의 제곱근입니다. 간단하고 대부분의 수업이 가르치는 방식이죠. Wilson 점수 구간은 0과 1 근처와 작은 표본에서 드러나는 Wald의 알려진 문제를 보정한 것이고, 통계학자들이 보고하라고 권하는 쪽입니다. 교과서 답과 더 나은 답을 함께 볼 수 있도록 둘 다 보여줍니다.
원하는 오차한계를 얻으려면 표본이 얼마나 커야 하나요?
오차한계 공식을 정리하면 n = (z × σ / E)²입니다. 비율이라면 최악의 경우인 p = 0.5에서 n = (z / (2E))²이므로, 95%에서 3% 오차한계를 얻으려면 약 1,068명이 필요합니다. 오차한계를 절반으로 줄이면 표본은 네 배가 됩니다.
신뢰구간으로 결과가 유의한지 알 수 있나요?
한 방향으로는 가능합니다: 차이에 대한 95% 구간이 0을 포함하지 않으면 그 차이는 5% 수준에서 유의하고, 평균에 대한 구간이 귀무가설 값을 포함하지 않으면 단일 표본 검정이 그것을 기각합니다. 게다가 구간은 효과가 얼마나 큰지도 알려주는데, 검정만으로는 알 수 없는 부분입니다.
