간단한 경우: 2⁵
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2^52를 다섯 번 곱하기: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. 지수가 정말로 인수를 세는 유일한 경우이고, 한 번 써 볼 값이 있습니다. 아래의 경우들이 여기서 벗어난 것으로 보이게 되니까요.
거듭제곱 계산기
규칙을 이름으로 밝히는 거듭제곱. 음수·분수 지수 포함.
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지수는 인수를 셉니다 - 세는 일을 그만두기 전까지
정수 지수에는 설명할 것이 없습니다: 2⁵는 2를 다섯 번 곱한 것, 즉 32입니다. 흥미로운 경우는 지수가 더 이상 인수를 세지 않는 경우이고 셋입니다: 0, 음수, 분수. 각각 뒤에 규칙이 하나 있고, 모두 같은 사실에서 따라옵니다 - 밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해진다는 것입니다.
0: 2³ ÷ 2³은 1이고 지수를 빼면 2⁰이 되므로 2⁰은 반드시 1입니다 - 밑이 0 자신인 경우만 빼고. 음수: 2³ ÷ 2⁵는 1/4이고 빼면 2⁻²이므로 음의 지수는 역수이며 결코 음의 답이 아닙니다. 분수: 2^(1/2) × 2^(1/2)은 2¹이므로 2^(1/2)은 제곱해서 2가 되는 수, 즉 제곱근입니다.
여기서는 모든 것이 정확합니다. 2⁻³은 0.125가 아니라 1/8, (2/3)³은 8/27, 9^(1/2)은 정확히 3, 8^(1/2)은 2.828로 무너지지 않고 2√2로 남습니다. 소수는 존재할 때 정확한 답 옆에 제시되고, 근삿값일 때는 그렇게 표시됩니다.
눈여겨볼 점
- 음의 지수는 역수를 줍니다. 음수가 아닙니다. 2⁻³은 1/8이고 양수입니다. 답을 음수로 만들 수 있는 것은 음의 밑뿐입니다.
- 지수가 0이면 0이 아닌 모든 밑에 대해 1입니다. 0⁰에는 합의된 값이 없고, 0의 음의 지수는 0으로 나누는 일이 됩니다.
- 분수 지수는 근입니다: 분모가 어떤 근인지 말하고 분자가 거듭제곱입니다. 8^(2/3)은 8의 세제곱근을 제곱한 것으로 4입니다.
- 분수를 거듭제곱하면 두 부분이 모두 올라갑니다. (2/3)³은 8/27 - 분모도 세제곱되며, 가장 자주 건너뛰는 단계입니다.
- 음의 밑의 부호는 지수만으로 결정됩니다: 짝수 지수는 마이너스를 짝지어 양의 답을 주고, 홀수 지수는 하나를 남깁니다.
- 괄호가 모든 것을 바꿉니다. (−2)⁴은 16이지만 −2⁴은 −16입니다. 괄호가 없으면 거듭제곱이 마이너스 기호보다 더 강하게 묶기 때문입니다.
거듭제곱을 계산하는 방법
먼저 지수의 부호를 보기
음수면 역수를 쓰고 지수를 양수로 만드세요: 2⁻³은 1/2³이 됩니다. 이것을 먼저 하면 −8이라고 답하는 고전적 실수를 막습니다.
분수인지 보기
분수 지수는 근입니다. 아래가 어떤 근인지 고르고 위가 거듭제곱입니다: x^(m/n)은 x^m의 n제곱근.
분수 밑을 다루기
분자와 분모를 따로 올립니다. (2/3)³은 2³ 나누기 3³, 즉 8/27.
남은 것을 곱하기
정수 지수는 이제 그냥 반복 곱셈입니다. 부호에 주의: 음의 인수가 홀수 개면 답이 음수로 남습니다.
역수가 있었다면 마무리하기
방금 계산한 결과를 뒤집습니다. 1/2³은 1/8 - 그리고 답이 1보다 작은지 확인하세요. 밑이 1보다 큰 수의 음의 지수는 언제나 그렇습니다.
거듭제곱과 그 뒤의 규칙
단순한 반복 곱셈이 아닌 네 경우를, 그런 경우들과 나란히.
| 거듭제곱 | 규칙 | 정확한 답 | 소수로 |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | 반복 곱셈 | 32 | 32 |
| 2⁰ | 0이 아닌 어떤 밑도 0제곱은 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | 음의 지수는 역수 | 1/8 | 0.125 |
| (2/3)³ | 위도 아래도 올린다 | 8/27 | 0.296… |
| 9^(1/2) | 분수 지수는 근 | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | 근은 반올림하지 않고 간단히 | 2√2 | 2.828… |
| (−2)⁴ | 짝수 지수, 마이너스가 짝을 이룬다 | 16 | 16 |
| (−2)³ | 홀수 지수, 마이너스가 하나 남는다 | −8 | −8 |
풀이 예시
음의 지수: 2⁻³
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2^-3−8이 아닙니다. 음의 지수는 역수를 뜻합니다: 2⁻³은 1/2³ = 1/8. 이유는 나눗셈입니다 - 2² ÷ 2⁵는 1/8이고 지수를 빼면 2⁻³이 되므로 둘은 같아야 합니다. 답은 양수이고 1보다 작습니다.
밑이 분수: (2/3)³
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(2/3)^3두 부분이 세제곱됩니다: 2³ 나누기 3³, 즉 8/27. 분자만 올리면 - 아주 흔한 실수 - 8/3이 되어 정답보다 8배 넘게 큽니다. 소수로는 0.296…이고 끝나지 않으므로 정직한 답은 분수입니다.
분수 지수: 9^(1/2)
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9^1/21/2의 거듭제곱은 제곱근이므로 이것은 정확히 √9 = 3. 이유: 9^(1/2) × 9^(1/2)은 지수를 더해 9¹이 되므로 9^(1/2)은 제곱해서 9가 되는 수여야 합니다.
근이 딱 떨어지지 않을 때: 8^(1/2)
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8^1/2√8은 무리수이므로 답은 근으로 남습니다 - 제곱 인수 4를 밖으로 빼내 2√2로 간단해집니다. 소수 2.828…은 근삿값으로 옆에 놓이고 결코 그 자리를 대신하지 않습니다.
음의 밑의 부호: (−2)⁴과 (−2)³
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(-2)^4음의 인수 네 개는 양의 곱 두 개로 짝지어지므로 (−2)⁴ = 16. 세 개면 마이너스 하나가 짝을 잃으므로 (−2)³ = −8. 부호를 정하는 것은 지수뿐이고 - 괄호 없는 −2⁴은 −(2⁴) = −16을 뜻하는 다른 질문임에 주의하세요.
자주 하는 실수
- 음의 지수를 음의 답으로 읽기. 2⁻³은 1/8이고 −8이 아닙니다. 마이너스는 거듭제곱을 분모로 보내며 답까지 따라가지 않습니다.
- 밑에 지수를 곱하기. 2⁵는 32이고 10이 아닙니다. 지수는 인수를 세는 것이고 곱하는 수가 아닙니다.
- 분수의 분자만 올리기. (2/3)³은 8/27이고 8/3이 아닙니다 - 분모도 세제곱됩니다.
- 음의 밑의 괄호를 없애기. (−2)⁴은 16인데 −2⁴은 −16입니다. 거듭제곱이 마이너스 기호보다 강하게 묶기 때문입니다.
- 0⁰이 1이나 0이라고 생각하기. 합의된 값이 없고 분야마다 다른 관례를 고릅니다. 이 페이지는 하나를 고르는 대신 거절합니다.
- 근을 간단히 하지 않고 반올림하기. 8^(1/2)은 정확히 2√2입니다. 2.83은 근삿값이고, 그 값을 다시 제곱하는 순간 쓸모가 없어집니다.
지수 자주 묻는 질문
음의 지수는 무슨 뜻인가요?
역수입니다. x⁻ⁿ은 1/xⁿ이므로 2⁻³은 1/8 - 1보다 작은 양수입니다. 거듭제곱의 나눗셈에서 따라옵니다: 2² ÷ 2⁵는 1/8이고 지수를 빼면 2⁻³이므로 둘은 같은 것이어야 합니다.
왜 무엇이든 0제곱은 1인가요?
거듭제곱을 자기 자신으로 나누면 1이 되고 지수를 빼면 0이 되기 때문입니다: 2³ ÷ 2³ = 1이면서 동시에 = 2⁰. 유일한 예외는 0⁰으로 합의된 값이 없습니다 - 1을 강제하는 이 논리에는 나눌 수 있는 밑이 필요합니다.
분수 지수는 무슨 뜻인가요?
근입니다. 분모가 어떤 근인지 말하고 분자가 거듭제곱입니다: x^(1/2)은 제곱근, x^(1/3)은 세제곱근, x^(2/3)은 x를 제곱한 것의 세제곱근. 거듭제곱의 곱셈에서 따라옵니다: x^(1/2) × x^(1/2) = x¹.
분수를 어떻게 거듭제곱하나요?
분자와 분모를 따로 올립니다: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. 위에만 하는 것이 여기서 가장 흔한 실수이고, 분모의 그 거듭제곱만큼 어긋납니다.
(−2)⁴과 −2⁴은 같나요?
다르고, 외워 둘 값이 있습니다. (−2)⁴은 −2를 네제곱해 +16을 줍니다. 괄호가 없는 −2⁴은 −(2⁴) = −16을 뜻합니다. 거듭제곱이 마이너스 기호보다 먼저 적용되기 때문입니다. 음의 밑은 언제나 괄호로 묶으세요.
음수의 거듭제곱이 언제 양수가 되나요?
지수가 짝수일 때입니다. 음의 인수 각 쌍이 양의 곱이 되므로 짝수 개면 음인 것이 남지 않고 홀수 개면 마이너스가 정확히 하나 남습니다. (−3)²은 9이고 (−3)³은 −27입니다.
2의 1/2제곱은?
2의 제곱근이고 무리수입니다 - 정확한 답은 √2이며 1.414…는 그 근삿값일 뿐입니다. 이 페이지는 근을 지키고 가능한 곳에서 간단히 합니다: 8^(1/2)은 √8로 두지 않고 2√2로 씁니다.
이 계산기는 세제곱근도 되나요?
네. 분수 지수는 12제곱근까지 어떤 근이든 정확히 계산합니다. 8^(1/3)은 2, 16^(3/4)은 8이고, 54^(1/3)은 소수로 바꾸지 않고 3∛2로 남깁니다. 음수 밑의 홀수 제곱근도 됩니다((-8)^(1/3)은 -2). 음수의 짝수 제곱근은 실수가 아니며, 페이지가 그렇게 알려 줍니다.
