기본 삼항식: x² - 5x + 6
plain
x^2 - 5x + 6곱이 6, 합이 -5인 두 수는 -2와 -3. 그래서 (x - 2)(x - 3)입니다. 최고차항 계수가 1이면 이것이 방법의 전부이고, 찾지 않아도 두 수가 보일 때까지 열 문제 정도는 해 볼 가치가 있습니다.
인수분해 계산기
어떤 다항식이든 인수분해하고, 각 단계에 쓰인 공식의 이름까지 보여줍니다.
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인수분해는 형태를 알아보는 일이고, 형태는 몇 가지뿐입니다
다항식을 인수분해할 때 일어나는 일은 여섯 가지 정도입니다. 공통인수가 밖으로 나오고, 두 제곱의 차가 갈라지고, 완전제곱이 괄호의 제곱이 되고, 삼항식이 두 괄호로 나뉘고, 네 항이 둘씩 묶이고, 세제곱의 합이나 차가 열립니다. 학교 대수에서 인수분해하라고 하는 문제는 이 중 하나이거나, 이 중 하나를 두 번 적용한 것입니다.
그래서 계산기가 알려 줄 만한 유용한 정보는 답이 아니라 어떤 형태를 썼는지, 왜 그것인지입니다. 여기서는 모든 줄에 이름이 붙습니다. 같은 문제가 시험에 나오면 이 페이지가 뭐라고 했는지를 떠올리는 대신, 이 페이지가 가리킨 형태를 찾게 됩니다.
정수 계수든 분수 계수든 계산은 정확하며, 스스로 검산합니다. 마지막 줄은 인수를 다시 곱해 처음의 다항식을 보여 줍니다. 이 검산이 «이게 맞는지 어떻게 아느냐»에 대한 답이고, 어떤 출처의 어떤 답이든 손으로 언제든 할 수 있습니다.
단계에서 볼 것
- 먼저 공통인수를 찾습니다. 3x² - 27은 3을 빼내기 전까지는 두 제곱의 차가 아니며, «인수분해가 안 된다»의 절반은 사실 «3을 빼내지 않았다»입니다.
- 항이 둘이면 제곱이나 세제곱, 셋이면 삼항식이나 완전제곱, 넷이면 묶어내기. 항의 개수를 세는 것만으로 대부분의 후보가 사라집니다.
- 두 제곱의 차는 갈라지고, 두 제곱의 합은 갈라지지 않습니다. x² - 9는 되고 x² + 9는 안 됩니다. 이 비대칭은 매번 다시 알아내기보다 외우는 편이 낫습니다.
- 답은 다시 곱해서 확인합니다. 마지막 줄이 바로 그것입니다. 10초면 되고, 부호 실수는 전부 여기서 잡힙니다.
- «인수분해되지 않는다»도 진짜 답입니다. x² + x + 1에는 유리수 인수가 없고, 멈출 때를 아는 것도 실력의 일부입니다.
인수분해 계산기 사용법
다항식을 입력하세요
종이에 쓰듯이 입력합니다:
x^2 - 5x + 6,4x^2 - 12x + 9,x^3 - 8. 거듭제곱은^. 문자는 하나 또는 둘 (x^2 - y^2도 됩니다).답을 먼저, 그다음 형태를 읽으세요
인수분해한 형태가 맨 위에 있습니다. 아래의 번호 붙은 단계가 각 단계에 쓰인 형태의 이름이며, 다음 문제로 옮겨 갈 수 있는 부분은 그쪽입니다.
영점을 보세요
(ax - b) 꼴의 괄호는 b/a에서 영점을 줍니다. 인수분해로 방정식을 푸는 이유가 이것입니다. 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐입니다.
검산은 직접 해 보세요
마지막 줄은 인수를 다시 곱한 것입니다. 가리고 머릿속으로 해 본 뒤 비교하세요. 이 습관이 답보다 값집니다.
형태와 알아보는 방법
학교 인수분해는 여섯 가지 형태로 충분합니다. 항의 개수를 먼저 세면 시도 전에 목록의 대부분이 지워집니다.
| 형태 | 이렇게 생겼다 | 이렇게 된다 |
|---|---|---|
| 공통인수 | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| 두 제곱의 차 | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| 완전제곱식 | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| 최고차항 계수가 1인 삼항식 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| 최고차항 계수가 1이 아닌 삼항식 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| 묶어내기(네 항) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| 세제곱의 차 | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| 세제곱의 합 | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| 두 제곱의 합 | x² + 9 | does not factor |
풀이 예시
완전제곱: 4x² - 12x + 9
plain
4x^2 - 12x + 94x²은 (2x)², 9는 3², 가운데 항은 정확히 -2 × 2x × 3. 그래서 (2x - 3)²입니다. 삼항식으로 처리해 (2x-3)(2x-3)을 얻을 수도 있지만, 제곱임을 알아보면 그 수고가 줄어듭니다. 형태를 외우는 이유는 그것뿐입니다.
계수가 있는 두 제곱의 차: 9x² - 4
plain
9x^2 - 4함정은 알아보지 못하는 것입니다. 제곱이 눈에 잘 안 띄어서인데 9x²은 (3x)², 4는 2²입니다. 그다음은 늘 하던 대로 (3x - 2)(3x + 2). 마이너스를 사이에 둔 두 항은 언제나 이 형태를 확인할 가치가 있습니다.
공통인수를 먼저: 3x² - 27
plain
3x^2 - 27그대로는 두 제곱의 차가 아닙니다. 3x²이 제곱이 아니기 때문입니다. 3을 빼내면 3(x² - 9)는 제곱의 차이고 3(x - 3)(x + 3)이 됩니다. 공통인수를 건너뛰는 것이 «인수분해되지 않는다»는 잘못된 결론에 이르는 가장 흔한 경로입니다.
세제곱의 차: x³ - 8
plain
x^3 - 8x³ - 8은 x³ - 2³이므로 (x - 2)(x² + 2x + 4). 이차 괄호는 유리수 범위에서 더 갈라지지 않으며, 페이지는 그것을 분명히 말합니다. 부호를 보세요. 일차 괄호는 원래 부호를 따르고, 이차 괄호는 번갈아 갑니다.
자주 하는 실수
- 공통인수를 먼저 빼내지 않는 것. 다른 모든 형태는 공통인수가 없을 때 더 잘 보이고, 일부는 그때까지 아예 보이지 않습니다.
- 두 제곱의 합을 인수분해하려는 것. x² + 4에는 유리수 인수가 없습니다. 갈라지는 것은 차뿐입니다.
- 삼항식의 두 수에서 부호를 놓치는 것. 두 수는 곱이 상수항, 합이 가운데 계수 - 매번 두 조건 모두입니다.
- 너무 일찍 멈추는 것. x⁴ - 16은 (x² - 4)(x² + 4)가 되고 앞 괄호는 다시 (x - 2)(x + 2)로 갈라집니다.
- 완전제곱이 «괄호의 제곱»임을 잊는 것. (2x - 3)(2x - 3)도 틀리지 않지만, 요구되는 답은 (2x - 3)²입니다.
- 인수분해 대신 약분하는 것. (x² - 9)/(x + 3)에서 x²과 x를 지울 수는 없습니다. 분자를 인수분해하면 공통 괄호가 약분됩니다.
인수분해 자주 묻는 질문
다항식은 어떻게 인수분해하나요?
공통인수를 빼내고 항의 개수를 세세요. 둘이면 두 제곱의 차 또는 세제곱의 합·차, 셋이면 완전제곱 또는 삼항식의 두 수, 넷이면 둘씩 묶기. 그다음 아직 갈라지는 괄호가 있는지 확인합니다. 이 페이지가 보여 주는 경로는 그 절차를 한두 번 적용한 것입니다.
x² - 5x + 6 같은 삼항식은 어떻게 하나요?
곱이 상수항이고 합이 가운데 계수인 두 수를 찾습니다. 여기서는 6과 -5이므로 -2와 -3. 인수는 (x - 2)(x - 3)입니다. 최고차항 계수가 1이 아니면 c 대신 a×c에 같은 생각을 적용합니다. 단계에서 ac 방법이라고 부르는 것입니다.
인수분해가 안 되면 어떻게 되나요?
페이지가 분명히 말해 줍니다. 문자가 하나인 이차·삼차식이라면 그것은 포기가 아니라 증명입니다. 유리수 근이 없으면 유리수 인수도 없습니다. x² + x + 1이 그런 예입니다. 인수분해되지 않는 이차식도 근의 공식으로 풀 수 있고, 그건 다른 페이지입니다.
문자가 두 개여도 되나요?
네, 학교에서 다루는 형태는 됩니다. 공통인수(6x²y + 9xy²은 3xy(2x + 3y)), 두 제곱의 차(x² - y²), 세제곱의 합과 차(x³ + 8y³). 어떤 부분이 한 문자만 남으면 그때부터 완전한 일변수 경로가 이어받습니다.
답에 검산이 왜 함께 나오나요?
인수를 다시 곱해 보는 것이 인수분해를 확인하는 방법이고, 그것을 보여 주는 데 드는 비용이 없기 때문입니다. 동시에 지킬 만한 습관도 알려 줍니다. 어떤 계산기나 친구에게서 받은 답이든 10초면 이렇게 확인됩니다.
인수분해와 방정식 풀이는 같은 건가요?
같지 않지만 대부분 같습니다. 인수분해는 식을 곱의 형태로 다시 쓰는 일이고, 풀이는 그 곱으로 영점을 찾는 일입니다. 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이니까요. 답 아래 영점 줄이 그 마지막 한 걸음입니다.
계수에 분수나 소수가 있어도 되나요?
네. x²/2 - 2는 ½(x - 2)(x + 2)로 갈라지고, 0.25x² - 1은 반올림된 소수가 아니라 정확한 분수 ¼로 읽힙니다. 여기서는 부동소수점 계산을 전혀 하지 않으므로 분수는 답까지 분수로 남습니다.
