Menu
Coddy logo textMath
ZACZNIJ NAUKĘ
flag Pl iconPolskidown icon

Kalkulator przedziału ufności

Przedział dla średniej lub proporcji na poziomie 90, 95 lub 99%, z obliczonym marginesem błędu.

Autor: Nethanel Bar, Współzałożyciel i CEO

Ostatnia aktualizacja

Chcesz rozwiązywać takie zadania bez kalkulatora?

Kurs matematyki Coddy uczy samej metody: każdy krok robisz na interaktywnej tablicy i dowiadujesz się dokładnie, gdzie ruch poszedł nie tak.

Zacznij naukę za darmo

Przedział ufności to oszacowanie z dołączoną niepewnością

Średnia z próby to przypuszczenie co do średniej w populacji, a przypuszczenia bez zakresu nie da się sprawdzić. Przedział ufności jest właśnie tym zakresem: oszacowanie plus minus margines błędu. Margines to wartość krytyczna razy błąd standardowy, a każdy z tych czynników odpowiada na inne pytanie. Błąd standardowy mówi, o ile oszacowanie zmieniałoby się między kolejnymi próbami; wartość krytyczna mówi, ile takich błędów standardowych obejmuje przedział, żeby osiągnąć wybrany poziom ufności.

Dla średniej strona stosuje standardowy przepis. Z surowych danych dokładnie oblicza średnią i odchylenie standardowe z próby, zachowując odchylenie w postaci pierwiastka; z podsumowania bierze twoje liczby tak, jak są. Gdy odchylenie standardowe jest szacowane z próby, wartość krytyczna pochodzi z rozkładu t o n minus 1 stopniach swobody, co jest uczciwym wyborem i ustawieniem domyślnym; wersja z jest o jedno przełączenie dalej, dla znanej sigmy lub dużego n. Dla proporcji strona podaje dwa przedziały: przedział Walda, który jest w większości podręczników, oraz przedział Wilsona, który warto podawać, bo Wald zawodzi, gdy proporcja jest bliska 0 lub 1 albo próba jest mała.

Przedział jest rysowany na osi liczbowej pod wynikiem, z zaznaczonym oszacowaniem, bo obraz przedziału mówi coś, czego nie powie para liczb: jak szeroki jest w stosunku do miejsca, w którym leży. Przedział dla średniej od 4.9 do 5.1 i przedział od 2 do 8 to oba przedziały; tylko jeden z nich warto podawać z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Co warto wiedzieć o przedziałach ufności

  • „95% ufności” to stwierdzenie o metodzie, a nie o tym konkretnym przedziale. Jeśli zbudujesz w ten sposób wiele przedziałów, około 95% z nich będzie zawierać prawdziwą wartość; każdy pojedynczy albo ją zawiera, albo nie.
  • Wyższy poziom, szerszy przedział. Przedział 99% sięga około 2.6 błędu standardowego zamiast 2, więc dla tych samych danych jest o jedną trzecią szerszy niż przedział 95%.
  • Szerokość maleje z pierwiastkiem z n. Czterokrotnie więcej danych zmniejsza margines błędu o połowę; sto razy więcej danych zmniejsza go do jednej dziesiątej.
  • Używaj t, gdy sigma jest szacowana z próby. Przy n = 10 wartość krytyczna t dla 95% wynosi 2.26, a nie 1.96, a udawanie, że jest inaczej, sprawia, że przedział wychodzi za wąski.
  • Dla proporcji podawaj przedział Wilsona. Przedział Walda może wyjść poniżej 0 lub powyżej 1 i jest zawodny, gdy sukcesów lub porażek jest mniej niż około 10; przedział Wilsona zostaje w możliwym zakresie i dotrzymuje obiecanego pokrycia.

Jak zbudować przedział ufności

  1. Oblicz oszacowanie

    Średnia z próby albo proporcja z próby. Jeśli możesz, zachowaj dokładną wartość; strona to robi.

  2. Oblicz błąd standardowy

    Dla średniej: odchylenie standardowe podzielone przez pierwiastek z n. Dla proporcji: pierwiastek z p(1 − p) podzielonego przez n.

  3. Odczytaj wartość krytyczną

    Dla średniej z szacowaną sigmą: z rozkładu t o n minus 1 stopniach swobody na twoim poziomie. Dla znanej sigmy lub proporcji: z rozkładu normalnego, czyli 1.645, 1.960 lub 2.576 dla 90, 95 lub 99%.

  4. Pomnóż, aby dostać margines, potem dodaj i odejmij

    Margines błędu to wartość krytyczna razy błąd standardowy. Przedział biegnie od oszacowania minus margines do oszacowania plus margines.

Wartości krytyczne dla przedziału ufności

Ile błędów standardowych przedział obejmuje po każdej stronie oszacowania.

Poziomzt, st. sw. = 5t, st. sw. = 10t, st. sw. = 30
90%1.6452.0151.8121.697
95%1.9602.5712.2282.042
99%2.5764.0323.1692.750

Przykłady z rozwiązaniem

Średnia z podsumowania

plain
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%

Błąd standardowy to 10 przez 5, czyli 2. Przy 24 stopniach swobody wartość krytyczna t dla 95% wynosi 2.064, więc margines błędu to około 4.13, a przedział biegnie od 45.87 do 54.13. Użycie z dałoby 1.96 razy 2, czyli margines 3.92, trochę za wąski dla próby liczącej 25 elementów.

Średnia z surowych danych

plain
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Średnia wynosi dokładnie 5, a odchylenie standardowe z próby to 4√14/7, około 2.138. Dzielenie przez pierwiastek z 8 daje błąd standardowy około 0.756; przy 7 stopniach swobody wartość t to 2.365, a przedział 95% biegnie od około 3.21 do 6.79.

Proporcja

plain
40 sukcesów na 100 prób

Proporcja z próby wynosi 0.4. Przedział Walda to 0.4 plus minus 1.96 razy 0.049, czyli od 0.304 do 0.496. Przedział Wilsona to od 0.309 do 0.498: lekko przesunięty w stronę środka, a to właśnie ta poprawka zapewnia mu rzetelność na krańcach. Przy 40 i 60, obu wyraźnie powyżej 10, oba przedziały są prawie zgodne; przy 3 sukcesach na 10 prób już by nie były.

Błędy przy przedziałach ufności

  • Mówienie, że istnieje 95% szans, że prawdziwa średnia leży w tym przedziale. Stwierdzenie o prawdopodobieństwie dotyczy procedury przy powtarzanych próbach, a nie jednego ustalonego przedziału.
  • Używanie z przy małej próbie. Poniżej około n = 30, gdy sigma jest szacowana z danych, wartość krytyczna t jest wyraźnie większa, a przedział z wychodzi za wąski.
  • Podawanie przedziału Walda dla rzadkiej proporcji. Przy 2 sukcesach na 20 prób przedział Walda schodzi poniżej zera; przedział Wilsona nie, i to jego należy zapisać.
  • Dzielenie przez n zamiast przez pierwiastek z n przy błędzie standardowym. Margines wyszedłby o wiele za mały.
  • Uznawanie wąskiego przedziału za prawdziwy. Szerokość to precyzja, a nie trafność; obciążona próba daje wąski przedział wokół złej liczby.
  • Porównywanie dwóch nakładających się przedziałów i wniosek, że nie ma różnicy. Dwa przedziały 95% mogą się nakładać, choć różnica średnich jest istotna; testuj różnicę bezpośrednio.

Przedział ufności: najczęstsze pytania

Jak obliczyć przedział ufności 95%?
Weź średnią z próby, oblicz błąd standardowy jako odchylenie standardowe podzielone przez pierwiastek z n, pomnóż przez wartość krytyczną dla 95% (1.96 dla z albo wartość t dla n minus 1 stopni swobody, gdy odchylenie standardowe jest szacowane) i dodaj oraz odejmij ten margines od średniej. Strona pokazuje każdy z tych kroków w osobnym wierszu.
Co tak naprawdę oznacza przedział ufności 95%?
To, że metoda, która go tworzy, obejmuje prawdziwą wartość w 95% przypadków przy powtarzanych próbach. Nie oznacza to, że istnieje 95% prawdopodobieństwa, że prawdziwa wartość leży w tym konkretnym przedziale; ta wartość jest stała, a przedział albo ją zawiera, albo nie. W praktyce: wartości wewnątrz są zgodne z danymi, wartości na zewnątrz nie.
Kiedy w przedziale ufności używać t zamiast z?
Używaj t zawsze, gdy odchylenie standardowe zostało oszacowane z tej samej próby, co jest typową sytuacją. Używaj z, gdy odchylenie standardowe populacji jest znane, albo jako przybliżenia przy dużym n, powyżej kilkuset. Przy n = 10 różnica to 2.26 wobec 1.96, czyli za dużo, żeby ją pominąć.
Czym jest margines błędu?
Połową szerokości przedziału: wartością krytyczną razy błąd standardowy. To właśnie to „plus minus”, które podają sondaże. Margines 3% przy wyniku 52% oznacza, że przedział biegnie od 49% do 55%.
Dlaczego strona pokazuje dwa przedziały dla proporcji?
Przedział Walda to wzór z podręcznika: p plus minus z razy pierwiastek z p(1 − p) podzielonego przez n; jest prosty i uczy go większość kursów. Przedział Wilsona poprawia znane słabości Walda w pobliżu 0 i 1 oraz przy małych próbach i to jego statystycy zalecają podawać. Pokazane są oba, żeby widzieć odpowiedź z podręcznika i tę lepszą.
Jak dużej próby potrzeba dla danego marginesu błędu?
Przekształć wzór na margines: n = (z × σ / E)². Dla proporcji w najgorszym przypadku p = 0.5, n = (z / (2E))², więc margines 3% przy 95% wymaga około 1068 osób. Zmniejszenie marginesu o połowę czterokrotnie zwiększa próbę.
Czy przedział ufności powie mi, czy wynik jest istotny?
Tak, w jedną stronę: jeśli przedział 95% dla różnicy nie zawiera zera, różnica jest istotna na poziomie 5%, a jeśli przedział dla średniej nie zawiera wartości z hipotezy, test dla jednej próby ją odrzuca. Przedział mówi też, jak duży jest efekt, czego sam test nie mówi.

Więcej narzędzi matematycznych

Kalkulator testu t

Test t dla jednej próby, dwóch prób i prób zależnych na twoich surowych danych, rozpisany linijka po linijce.

Kalkulator chi kwadrat

Test niezależności na tabeli kontyngencji albo test zgodności, z każdą liczebnością oczekiwaną podaną dokładnie.

Kalkulator regresji liniowej

Prosta najlepszego dopasowania przez twoje punkty, dokładnie, z r i każdym krokiem obliczeń.

Kalkulator współczynnika korelacji

Współczynnik r Pearsona z twoich danych, dokładnie jako pierwiastek, z jego siłą i obliczeniami.

Ilustracja języków programowania w Coddy

Ucz się matematyki z Coddy

ZACZNIJ