Kalkulator pierwiastków

Odpowiedzią na pytanie o pierwiastek jest postać, a nie ułamek dziesiętny

Kalkulator powie ci, że pierwiastek kwadratowy z 72 to 8.4852814. To prawie nigdy nie jest odpowiedź, o którą chodzi w zadaniu z pierwiastkami. Chodzi o 6 razy pierwiastek z 2, czyli tę samą wielkość zapisaną tak, żeby pod znakiem nie chowała się już żadna pełna potęga. Na tej różnicy opiera się cały temat: upraszczanie pierwiastka to przekształcenie zapisu, a nie obliczanie wartości, a ułamek dziesiętny wyrzuca dokładność, którą trzeba było zachować.

Wszystko na tej stronie jest dokładne. Pierwiastek kwadratowy z 72 to 6 pierwiastków z 2, pierwiastek sześcienny z 54 to 3 razy pierwiastek sześcienny z 2, pierwiastek z dwóch trzecich to pierwiastek z 6 przez 3, a jeden przez dwa plus pierwiastek z 3 to dokładnie 2 minus pierwiastek z 3. Obok każdego wyniku jest ułamek dziesiętny, wyraźnie oznaczony jako przybliżenie, bo czasem naprawdę chcesz wiedzieć, jak duża jest ta liczba. Nigdy jednak nie dostajesz go zamiast odpowiedzi.

Trzy pytania dzielą tę stronę, bo łączy je jedna umiejętność. Upraszczanie znajduje największą pełną potęgę pod pierwiastkiem. Dodawanie mówi, czy dwa pierwiastki są wyrazami podobnymi, czego nie da się stwierdzić, zanim oba zostaną uproszczone. Usuwanie niewymierności przenosi pierwiastek z mianownika, używając samego pierwiastka albo sprzężenia. Wszystkie trzy sprowadzają się do tej samej reguły: pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków.

Na co zwrócić uwagę

• Wyciągaj NAJWIĘKSZY pełny kwadrat, a nie pierwszy, który zauważysz. 72 to 4 razy 18, a zatrzymanie się tu zostawia pierwiastek z 18, który wciąż nie jest najprostszą postacią. 72 to też 36 razy 2, a 6 pierwiastków z 2 to gotowy wynik.
• Pełna potęga kryje się w rozkładzie na czynniki pierwsze. Gdy 72 zapiszesz jako 2 do sześcianu razy 3 do kwadratu, każda para równych liczb pierwszych to jeden czynnik, który może wyjść przed znak pierwiastka kwadratowego.
• Dwa pierwiastki dodają się tylko wtedy, gdy liczby pod ich znakami są identyczne. Pierwiastek z 8 plus pierwiastek z 18 działa, bo oba są w ukryciu wielokrotnościami pierwiastka z 2. Pierwiastek z 8 plus pierwiastek z 27 nie działa, a 2 pierwiastki z 2 plus 3 pierwiastki z 3 to gotowa odpowiedź.
• Ułamek pod znakiem i pierwiastek w mianowniku to ten sam problem. Pierwiastek z dwóch trzecich nie jest najprostszą postacią. Pomnożenie wnętrza przez 3 przez 3 zamienia go w pierwiastek z 6 przez 3, który już nią jest.
• Stopień pierwiastka mówi, jaka potęga wychodzi. Pod pierwiastkiem kwadratowym potrzebujesz par, pod sześciennym trójek, pod czwartego stopnia czwórek. Dlatego pierwiastek sześcienny z 54 daje 3, a nie 6.

Jak uprościć pierwiastek ręcznie

1. 1

   Rozłóż liczbę podpierwiastkową na czynniki pierwsze

   Zapisz liczbę pod znakiem jako iloczyn liczb pierwszych. Dla 72 to 2 x 2 x 2 x 3 x 3, czyli 2 do sześcianu razy 3 do kwadratu. Dzięki temu nigdy nie musisz zgadywać, czy chowa się tam pełny kwadrat.

2. 2

   Pogrupuj czynniki według stopnia pierwiastka

   Dla pierwiastka kwadratowego zbierz czynniki w pary, dla sześciennego w trójki. W 72 pary to 2 x 2 i 3 x 3, a jedna 2 zostaje sama.

3. 3

   Z każdej pełnej grupy jeden czynnik wychodzi przed znak

   Każda para daje jedną kopię swojej liczby pierwszej przed pierwiastkiem. Para dwójek daje 2, a para trójek daje 3, więc przed znak wychodzi 6, a samotna 2 zostaje pod spodem: 6 pierwiastków z 2.

4. 4

   Usuń ułamek spod znaku

   Jeśli pod pierwiastkiem został mianownik, pomnóż licznik i mianownik wewnątrz przez liczbę, która zrobi z mianownika pełną potęgę. Dla dwóch trzecich pomnóż przez 3 przez 3, dostaniesz 6 przez 9, a na zewnątrz pierwiastek z 6 przez 3.

5. 5

   Sprawdź, podnosząc wynik do kwadratu

   6 pierwiastków z 2 do kwadratu to 36 razy 2, czyli 72. Ten test w jednej linijce wyłapuje najczęstszy błąd: wyciągnięcie za małego czynnika zostawia kwadrat, któremu brakuje do liczby podpierwiastkowej.

Pierwiastki w najprostszej postaci

Najczęstsze przypadki, a przy każdym pełna potęga, która wykonuje pracę.

Przykłady krok po kroku

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

Częste błędy

• Wyciąganie pierwszego pełnego kwadratu zamiast największego. Zapis pierwiastka z 72 jako 2 pierwiastki z 18 jest prawdziwy, ale niedokończony, i zostanie uznany za błędny, gdy zadanie prosi o "najprostszą postać".
• Odpowiadanie ułamkiem dziesiętnym. 8.485 to nie pierwiastek kwadratowy z 72, tylko jego zaokrąglenie. Jeśli zadanie używa znaku pierwiastka, odpowiedź też go zachowuje, chyba że pierwiastek wychodzi całkowity.
• Dodawanie liczb pod znakami. Pierwiastek z 4 plus pierwiastek z 9 to 2 + 3 = 5, a nie pierwiastek z 13. Pierwiastki dodają się tylko jako wyrazy podobne, nigdy pod znakiem.
• Mnożenie pierwiastków różnych stopni. Pierwiastek z 2 razy pierwiastek sześcienny z 2 to nie pierwiastek z 2 ani pierwiastek sześcienny z 4. Reguła iloczynu wymaga zgodnych stopni, zanim wolno je połączyć.
• Zostawianie pierwiastka w mianowniku. Pierwiastek z 2 przez 2 i 1 przez pierwiastek z 2 to ta sama liczba, ale tylko pierwsza postać jest najprostsza. Druga wciąż ma pierwiastek na dole.
• Traktowanie pierwiastka z sumy jak sumy pierwiastków. Pierwiastek z 9 + 16 to pierwiastek z 25 = 5, a nie 3 + 4 = 7. Reguła iloczynu rozdziela iloczyny, a nie sumy.
• Zapominanie, że pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, a nieparzystego jest. Nie istnieje rzeczywisty pierwiastek czwartego stopnia z -16, ale pierwiastek sześcienny z -8 to dokładnie -2.

Pierwiastki: pytania i odpowiedzi