Trójkąt 30-60-90
Dwa trójkąty mają proporcje boków na tyle dokładne, że da się je zapisać, i dlatego tylko je można rozwiązać w pamięci. Oba powstają przez przecięcie na pół figury, którą już znasz.
Ostatnia aktualizacja
Każdy trójkąt prostokątny ma proporcje między bokami. W prawie wszystkich te proporcje to brzydkie ułamki dziesiętne, do których trzeba kalkulatora. W dokładnie dwóch są to krótkie, dokładne wyrażenia, które da się zapisać, i dlatego te dwa pojawiają się w zadaniu za zadaniem.
Przełączaj się między nimi poniżej i zmieniaj rozmiar.
Przesuń suwak. Każdy bok się zmienia, a trzy kąty nie, i dlatego jedna zapamiętana proporcja rozstrzyga trójkąt dowolnej wielkości.
Skąd bierze się trójkąt 30-60-90
Zacznij od trójkąta równobocznego: trzy równe boki, trzy kąty 60°. Przetnij go dokładnie przez środek, od górnego wierzchołka do środka podstawy.
Cięcie jest prostopadłe do podstawy, więc masz kąt prosty. Jeden z kątów 60° przy podstawie zostaje nietknięty. Kąt 60° u góry dzieli się na pół, więc zmienia się w 30°. To twój trójkąt 30-60-90, a powstał z figury, której boki już znasz.
Teraz odczytaj boki. Jeśli trójkąt równoboczny miał boki długości 2, to przeciwprostokątna połówki nadal ma 2, a podstawa zmniejszyła się do 1. Wysokość daje twierdzenie Pitagorasa:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, więc h = sqrt(3).
Boki 1, sqrt(3) i 2: to jest ta proporcja, a jest dokładna, bo wynika z dokładnej konstrukcji, a nie z pomiaru.
Który bok gdzie leży
Zasada, która zapobiega większości błędów: najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta.
| kąt | bok | długość |
|---|---|---|
| 30° | krótsza przyprostokątna | x |
| 60° | dłuższa przyprostokątna | x√3 |
| 90° | przeciwprostokątna | 2x |
Przeciwprostokątna jest więc dwa razy dłuższa od krótszego boku, nigdy od dłuższego. A ponieważ sqrt(3) to około 1,73, dłuższa przyprostokątna mieści się między dwoma pozostałymi bokami, co jest szybkim sprawdzeniem każdej zapisanej odpowiedzi.
Trójkąt 45-45-90 to kwadrat przecięty na pół
Ten sam trik, inna figura. Weź kwadrat o boku 1 i przetnij go wzdłuż przekątnej. Oba pozostałe kąty mają 45°, obie przyprostokątne są równe, a przekątna jest przeciwprostokątną:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, więc d = sqrt(2).
Proporcja 1 : 1 : sqrt(2). Ten trójkąt pojawia się wszędzie tam, gdzie kwadraty: przekątne ekranów, płytek, szachownic.
Szukanie brakującego boku
Zawsze wracaj do krótszego boku, a potem skaluj w górę.
Dana przeciwprostokątna. Trójkąt 30-60-90 z przeciwprostokątną 14: podziel ją na pół, więc krótszy bok ma 7, a dłuższa przyprostokątna 7sqrt(3).
Dana dłuższa przyprostokątna. Trójkąt 30-60-90 z dłuższą przyprostokątną 9: podziel przez sqrt(3), żeby dostać krótszy bok, 3sqrt(3), więc przeciwprostokątna ma 6sqrt(3).
Dana przyprostokątna trójkąta 45-45-90. Druga przyprostokątna jest jej równa, a przeciwprostokątna to ta przyprostokątna razy sqrt(2).
Poruszaj suwakiem na rysunku, czytając te przykłady: powyższe rachunki to po prostu odczyt w trzech różnych rozmiarach.
Rozwiąż jedno zadanie
Trójkąt 30-60-90 ma krótszy bok długości 6. Ile wynosi jego dłuższa przyprostokątna?
Zostaw wynik jako 6sqrt(3), a nie 10,39. Dokładna postać to ta, której może użyć następny krok zadania, i tej właśnie szuka egzaminator.
Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych wynikają od razu
Ponieważ te dwa trójkąty mają dokładne boki, mają też dokładne wartości sinusa i cosinusa, i stąd biorą się liczby w każdej tabeli okręgu jednostkowego:
| kąt | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Trzy różne wartości w całej pierwszej ćwiartce, a 30° i 60° to ta sama para zamieniona miejscami, czyli dokładnie to, czego można się spodziewać po jednym trójkącie odczytanym z jego dwóch różnych kątów ostrych.
Częste pytania
- Jakie są boki trójkąta 30-60-90?
- Są w proporcji 1 : √3 : 2. Najkrótszy bok leży naprzeciw kąta 30 stopni, najdłuższy to przeciwprostokątna, dokładnie dwa razy dłuższa od najkrótszego, a pozostały bok to najkrótszy pomnożony przez pierwiastek z 3. Każdy trójkąt 30-60-90 na świecie ma te proporcje, niezależnie od rozmiaru.
- Skąd bierze się proporcja 30-60-90?
- Przetnij trójkąt równoboczny na pół wzdłuż wysokości. Dwa kąty 60 stopni przy podstawie zostają, kąt 60 stopni u góry dzieli się na pół do 30, a cięcie tworzy kąt prosty. Podstawa też dzieli się na pół, więc krótki bok to dokładnie połowa pierwotnego boku, i dlatego przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótkiego boku. Wysokość wynika potem z twierdzenia Pitagorasa.
- Jakie są boki trójkąta 45-45-90?
- Są w proporcji 1 : 1 : √2. Obie przyprostokątne są równe, bo oba kąty 45 stopni są równe, a przeciwprostokątna to przyprostokątna razy pierwiastek z 2. To twierdzenie Pitagorasa zastosowane do kwadratu przeciętego wzdłuż przekątnej, bo tym właśnie jest ten trójkąt.
- Jak znaleźć brakujący bok w trójkącie szczególnym?
- Najpierw znajdź krótki bok, potem skaluj. Jeśli znasz przeciwprostokątną trójkąta 30-60-90, podziel ją na pół, żeby dostać krótki bok; jeśli znasz dłuższą przyprostokątną, podziel ją przez pierwiastek z 3. Gdy znasz krótki bok, pozostałe dwa to on razy √3 i on razy 2.
- Po co to zapamiętywać, skoro istnieje kalkulator?
- Bo te wyniki są dokładne, a wyniki z kalkulatora nie. Kalkulator pokaże 8,660254, a prawdziwa wartość to 5√3, a dokładna wartość to właśnie to, czego potrzebuje dalsza praca: upraszczanie, skracanie albo zostawienie wyniku z pierwiastkiem. Zadania egzaminacyjne ciągle korzystają z tych dwóch trójkątów właśnie dlatego, że da się je rozwiązać bez kalkulatora.
