Mnożenie ułamków
Mnożenie ułamków to najłatwiejsze z czterech działań, a uczy się go jak najbardziej zagmatwanego, bo reguła przychodzi bez żadnego uzasadnienia. Uzasadnieniem jest kwadrat pocięty w dwóch kierunkach.
Ostatnia aktualizacja
Z czterech rzeczy, które można zrobić z parą ułamków, mnożenie jest zdecydowanie najłatwiejsze: pomnóż liczniki, pomnóż mianowniki, gotowe. Bez wspólnego mianownika, bez odwracania, bez przestawiania.
I tu pojawia się pytanie, które większość stron pomija. Dodawanie ułamków wymaga równych mianowników. Dlaczego mnożenie nie?
Dwa cięcia biegną w różnych kierunkach, więc nigdy nie muszą się zgadzać, i dlatego mnożenie nie wymaga wspólnego mianownika. Wynik to część wspólna.
Wynik to część wspólna
Kwadrat to jedna całość. Pierwszy ułamek tnie go na kolumny i cieniuje część z nich; drugi tnie go na wiersze i cieniuje część z nich. Mocno zacieniowany prostokąt to miejsce, gdzie oba cieniowania się nakładają, i ten prostokąt jest wynikiem.
Dla 3/4 i 2/3 kwadrat jest pocięty na 4 kolumny i 3 wiersze, co daje 12 małych pól. Część wspólna obejmuje 3 kolumny na 2 wiersze, czyli 6 pól. Sześć z dwunastu:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
Dwie liczby w licznikach się pomnożyły, bo część wspólna ma tyle pól wszerz i tyle w dół. Dwa mianowniki się pomnożyły, bo cały kwadrat został pocięty łącznie na tyle pól. Nic innego nie mogło się stać.
A teraz pytanie o wspólny mianownik odpowiada samo. Dwa cięcia biegną w różnych kierunkach, więc nigdy nie muszą się zgadzać. Dodawanie wymaga pasujących kawałków, bo liczysz kawałki razem; tutaj nic nie liczysz razem, tylko bierzesz część z części.
To znaczy słowo "z"
Czytaj znak mnożenia jako z (część z czegoś), a mnożenia ułamków nie trzeba już pamiętać:
- połowa z połowy to ćwierć: 1/2 * 1/2 = 1/4
- dwie trzecie z trzech czwartych to połowa: 2/3 * 3/4 = 1/2
- jedna trzecia z 60 to 20: 1/3 * 60 = 20
Dlatego też zadanie tekstowe typu "trzy piąte z klasy liczącej 30 osób" to mnożenie, a nie coś bardziej skomplikowanego.
Jedna konsekwencja często zaskakuje. Mnożenie przez ułamek mniejszy od 1 pomniejsza, bo bierzesz tylko część. 3/4 * 8 = 6, a 6 jest mniejsze od 8. To nie błąd; to właśnie znaczy "trzy czwarte z".
Liczby naturalne i liczby mieszane
Liczba naturalna to ułamek z 1 w mianowniku, a gdy zapisze się ją w ten sposób, obejmuje ją ta sama reguła:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy, bo nie da się pomnożyć osobno części całkowitej i części ułamkowej i dostać poprawnego wyniku. 2 + 1/2 to 5/2, więc
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
Jeśli kusi cię, żeby pomnożyć 2 przez 2, a potem połówki przez trzecie, sprawdź to na 2 1/2 razy 2 1/2: prawdziwy wynik to 6 1/4, a skrót daje 4 1/4.
Najpierw skróć, a liczby zostaną małe
Ponieważ cały iloczyn to jeden ułamek, każdy licznik można skrócić z każdym mianownikiem przed mnożeniem. Weź 3/4 * 8/9:
- 3 i 9 mają wspólny dzielnik 3, zostają 1 i 3
- 4 i 8 mają wspólny dzielnik 4, zostają 1 i 2
co zostawia 1/1 * 2/3 = 2/3: poprawny wynik, a liczba 72 nigdy nie zostaje zapisana. Mnożenie najpierw daje 24/36, co po odrobinie dodatkowej pracy skraca się do tego samego 2/3. Wczesne skracanie to nie inna metoda, tylko mniej rachunków.
Rozwiąż jedno zadanie
Jeśli wyszło ci 10/12, to poprawna wartość zapisana w złej postaci: skróć ją. Jeśli sięgasz po wspólny mianownik, ten krok należy do dodawania, a ta strona wyjaśnia, dlaczego tutaj można go pominąć.
Częste pytania
- Jak mnożyć ułamki?
- Pomnóż oba liczniki przez siebie i oba mianowniki przez siebie, a potem skróć. Zatem 3/4 x 2/3 = 6/12, czyli 1/2. Nie ma tu kroku ze wspólnym mianownikiem ani odwracania: to należy do dodawania i dzielenia.
- Dlaczego przy mnożeniu nie trzeba wspólnego mianownika?
- Bo oba ułamki tną całość w różnych kierunkach. Dodawanie wymaga kawałków tej samej wielkości, żeby dało się je policzyć razem; mnożenie bierze ułamek Z ułamka, więc jedno cięcie biegnie w poprzek drugiego i nigdy nie muszą się zgadzać. W kwadracie powyżej jeden ułamek tnie kolumny, a drugi wiersze.
- Co tak naprawdę oznacza mnożenie ułamków?
- Oznacza "z" (część z czegoś). Połowa z połowy to ćwierć i dokładnie to mówi 1/2 x 1/2 = 1/4. Czytanie znaku mnożenia jako "z" zamienia większość zadań tekstowych w oczywisty rachunek: dwie trzecie z 3/4 to 2/3 x 3/4.
- Jak pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną?
- Zapisz liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1 i licz dalej jak zwykle. 4/5 x 10 zmienia się w 4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. Warto zauważyć, że wynik wzrósł, bo mnożenie przez liczbę większą od 1 zawsze powiększa, a mnożenie przez ułamek mniejszy od 1 zawsze pomniejsza.
- Czy można skracać przed mnożeniem?
- Tak i zwykle jest to łatwiejsze. Każdy licznik można skrócić z każdym mianownikiem przed mnożeniem, bo cały iloczyn to jeden duży ułamek. W 3/4 x 8/9 liczby 3 i 9 mają wspólny dzielnik 3, a 4 i 8 wspólny dzielnik 4, co zostawia 1/1 x 2/3 = 2/3 bez zapisywania żadnych dużych liczb.
Chcesz to policzyć na własnych liczbach?
Kalkulator ułamków Otwórz kalkulator