Współczynnik korelacji

Zestaw dwa pomiary obok siebie, godziny snu i czas reakcji albo temperaturę i sprzedaż lodów, i narysuj jeden względem drugiego. Czasem punkty wznoszą się od lewej do prawej, czasem opadają, czasem tworzą bezkształtną chmurę. Współczynnik korelacji r zamienia to wrażenie w jedną liczbę od -1 do 1.

Przeciągaj punkty poniżej. Dwie linie przerywane oznaczają średnią x i średnią y, a każdy punkt ma kolor zależny od tego, gdzie leży względem nich. Najpierw wypróbuj trzy gotowe układy, potem odciągnij jeden punkt daleko od reszty i zobacz, co to robi z r.

Co mówi ta liczba

r zawsze leży między -1 a 1 i niesie dwie osobne informacje.

Znak to kierunek. Dodatnie r oznacza, że gdy x jest większe, y też zwykle jest większe. Ujemne r oznacza, że gdy x jest większe, y zwykle jest mniejsze. Nie mówi nic o tym, jak stromy jest trend: prosta rosnąca łagodnie i prosta rosnąca stromo mogą obie mieć r = 1.

Wielkość mówi, jak ściśle punkty trzymają się prostej. Przy dokładnie 1 lub -1 każdy punkt leży na jednej prostej. Przy 0 nie ma żadnego trendu liniowego.

Wykres powyżej opisuje r progami, których używa większość podręczników:

Te granice to konwencja, a nie twierdzenie. Przydają się do opisania wyniku słowami, a każda dziedzina je przesuwa: fizyk, który mierzy r = 0.9 między dwiema wielkościami, które powinny być dokładnie proporcjonalne, ma problem, a psycholog, który znajduje r = 0.4 między dwiema cechami, ma wynik.

Skąd bierze się wzór

Każdy punkt leży w jednym z czterech obszarów wyznaczonych przez dwie przerywane średnie. Punkt w górę i w prawo od środka ma x powyżej średniej i y powyżej średniej. W górę i w lewo x jest poniżej, a y powyżej. Cały wzór opiera się na tym obrazku:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

Najpierw spójrz na licznik. Dla każdego punktu pomnóż, jak daleko x jest od swojej średniej, przez to, jak daleko y jest od swojej średniej. W obszarze prawym górnym i lewym dolnym obie odległości mają ten sam znak, więc iloczyn jest dodatni. W dwóch pozostałych obszarach znaki się różnią i iloczyn jest ujemny. Suma iloczynów ma znak taki jak r, i dlatego kolory na wykresie pokazują kierunek, zanim zrobi to liczba: niebieskie punkty podnoszą r, a pomarańczowe je obniżają.

Mianownik tylko zmienia skalę. Dzieli przez rozrzut x i rozrzut y, więc wynik przestaje zależeć od jednostek i nie może wyjść poza 1 w żadną stronę.

Obliczanie ręcznie

Weź pięć punktów: x = 1, 2, 3, 4, 5 i y = 2, 4, 5, 4, 5. Średnia x wynosi 3, a średnia y wynosi 4.

Zatem r = 6/√60 = √15/5, czyli około 0.7746: silna korelacja dodatnia.

Zauważ, że dokładny wynik to pierwiastek. Tutaj r² wychodzi dokładnie 3/5, zwykły ułamek, a r to jego pierwiastek ze znakiem licznika. Dlatego kalkulator współczynnika korelacji podaje r jako pierwiastek z przybliżeniem dziesiętnym obok, a nie samo zaokrąglone przybliżenie.

Wiele podręczników podaje ten sam wzór w postaci, która wymaga tylko sum bieżących, bez wcześniejszego odejmowania średnich:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

Dla tych samych pięciu punktów n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 i Σy² = 86. Licznik to 5 × 66 minus 15 × 20 = 30, a dwa nawiasy pod kreską to 50 i 30, więc r = 30 / √1500, czyli to samo √15/5.

r i r do kwadratu

Podnieś r do kwadratu, a dostaniesz r², współczynnik determinacji. Dla pięciu punktów powyżej r² = 0.6. Czyta się go jako udział: prosta najlepszego dopasowania przez te punkty wyjaśnia 60% zmienności y, a pozostałe 40% to rozrzut, którego prosta nie wyjaśnia.

Te dwie liczby odpowiadają na różne pytania. r podaje jednocześnie kierunek i siłę, czyli to, czego potrzebujesz, opisując zależność. r² gubi znak, więc r = -0.9 i r = 0.9 dają oba 0.81, i to tę liczbę podaje się, gdy pytanie brzmi, ile wyjaśnia prosta. Jest też zawsze mniejsze niż |r|, chyba że r wynosi 0 lub ±1, więc r równe 0.5, które brzmi przyzwoicie, daje r² równe 0.25: prosta wyjaśnia jedną czwartą zmienności.

Korelacja to nie przyczynowość

Wysokie r mówi, że dwie wielkości zmieniają się razem w tych danych. Nie mówi dlaczego, a są trzy częste powody, które nie mają nic wspólnego z tym, że jedna powoduje drugą.

• Obie napędza trzecia wielkość. Sprzedaż lodów i wypadki podczas pływania rosną i spadają razem. Oba zjawiska powoduje upał.
• Przyczyna działa w drugą stronę. Wiatraki kręcą się szybciej w dni z silniejszym wiatrem. To wiatr obraca wiatraki; wiatraki nie wytwarzają wiatru.
• Przypadek. Porównaj wystarczająco dużo niepowiązanych serii danych, a niektóre ułożą się podobnie przez przypadek, zwłaszcza w ciągu kilku lat.

Wykazanie, że x powoduje y, wymaga czegoś, czego korelacja nie da: kontrolowanego eksperymentu albo rozumowania o mechanizmie, które wyklucza inne wyjaśnienia.

Czego r nie widzi

Ta liczba to podsumowanie, a podsumowanie coś ukrywa. Warto znać trzy rzeczy.

Krzywe. Punkty (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) leżą dokładnie na y = x^2, a ich współczynnik korelacji wynosi dokładnie 0. Lewa połowa opada, prawa rośnie, a iloczyny się znoszą. r mierzy tylko zależności liniowe, więc idealna krzywa może dostać zero.

Obserwacje odstające. Zacznij od pięciu punktów powyżej, r ≈ 0.7746, i dodaj jeden punkt w (10, 0). Nowe r wynosi około -0.5529. Jeden punkt odwrócił znak. Działa to też w drugą stronę: x = 1 do 5 z y = 3, 1, 4, 1, 5 ma słabe r ≈ 0.3536, a dodanie jednego punktu w (12, 12) podnosi je do około 0.9084, bez zmiany pozostałych pięciu. Wypróbuj oba przypadki na wykresie: przeciągnij jeden punkt do rogu i obserwuj r.

Co nie ma znaczenia. Zmiana jednostek nie zmienia r. Mierz x w centymetrach zamiast w metrach albo pomnóż każde x przez 10, a r nadal wynosi √15/5. Zamiana tego, która zmienna jest x, a która y, też nie zmienia r, w przeciwieństwie do prostej najlepszego dopasowania, która po takiej zamianie się zmienia.

Dlatego zanim podasz r, spójrz na wykres punktowy i sprawdź reszty dopasowanej prostej, szukając wzoru, który liczba by ukryła.

Rozwiąż jedno zadanie

Dwie wielkości mają współczynnik korelacji r = -0.9. Ile wynosi r do kwadratu?

Wynik jest dodatni, choć r jest ujemne, i jest mniejszy niż 0.9. Jeśli wyszło ci -0.81, znak przeszedł do kwadratu; jeśli wyszło ci 0.9, kwadrat został pominięty. Żeby znaleźć r dla własnych danych, wklej dwie kolumny do kalkulatora współczynnika korelacji, który pokazuje tabelę sum i wzór z podstawionymi wartościami.