A tabela de desvios linha por linha - a parte pela qual você é avaliado.
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O curso de matemática da Coddy ensina o método em si: você trabalha cada passo em um quadro interativo e descobre exatamente onde a jogada deu errado.
Tome uma lista de números e sua média. Cada valor fica a alguma distância dessa média, e o desvio padrão é aproximadamente o tamanho típico dessas distâncias. Não pode ser a média simples delas, porque as distâncias acima e abaixo da média se cancelam exatamente em zero - então cada uma é elevada ao quadrado, os quadrados são somados e divididos, e a raiz no fim desfaz o quadrado para a resposta voltar às unidades originais.
Essa é a fórmula inteira, e a parte pela qual você é realmente avaliado é o meio: a tabela de cada valor menos a média, com cada diferença ao quadrado. Esta página imprime essa tabela completa, com o total que as duas variâncias dividem. As calculadoras concorrentes imprimem sigma e param - justamente a parte que qualquer um faria no celular.
Há dois divisores e a diferença importa. Divida o total por n quando os seus números SÃO o grupo inteiro, a população. Divida por n − 1 quando são uma amostra representando algo maior, porque a média de uma amostra fica um pouco perto demais dos próprios valores e dividir por um menos compensa isso. Aqui os dois aparecem sempre, então o divisor é uma escolha sua e não da página.
Some todos os valores e divida pela quantidade. Mantenha exata - se a média é 7/3, não escreva 2.33, porque esse erro está a ponto de ser elevado ao quadrado.
Esses são os desvios. Alguns são negativos, e está tudo bem; como conferência, eles devem somar exatamente zero.
O quadrado remove os sinais e dá mais peso às distâncias grandes. Some os quadrados: esse total é a soma dos quadrados.
Por n se estes valores são o grupo inteiro que interessa; por n − 1 se são uma amostra de algo maior. O resultado é a variância.
Esse é o desvio padrão. Está nas mesmas unidades dos seus dados originais, o que a variância não estava.
Os mesmos números sob os dois divisores. Note como a diferença entre as duas respostas diminui quando a lista fica mais longa.
| Valores | Média | Soma dos quadrados | σ (população) | s (amostra) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Os oito valores somam 40, então a média é 5. Os desvios são −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (somando zero, como devem) e seus quadrados totalizam 32. Divididos por n = 8 dão variância 4, e a raiz é exatamente 2. Como amostra seria 32/7, cerca de 2.138.
1, 2, 3, 4A média é 2.5 e a soma dos quadrados é 5. Dividida por 4 a variância é 5/4 e o desvio é √5/2 ≈ 1.118; por 3 é 5/3 e cerca de 1.291. A resposta amostral é sempre maior, porque a média de uma amostra abraça seus próprios valores um pouco demais.
1, 2, 4A média é 7/3, não 2.33. Os desvios são −4/3, −1/3 e 5/3, e seus quadrados são 16/9, 1/9 e 25/9, totalizando 14/3. Arredondar a média primeiro jogaria fora um dígito antes de o quadrado começar - por isso cada linha da tabela aqui é uma fração.
3, 3, 3Todo desvio é zero, então a soma dos quadrados é zero e o desvio padrão também. Essa é a única forma de um desvio padrão ser zero: não «os números são pequenos», mas «todos os valores são iguais».
100, 100, 100, 200Três valores concordam exatamente e um não, e o desvio padrão fica em torno de 43 - mais de um quarto da amplitude total. Elevar as distâncias ao quadrado é o que dá tanto peso a esse único valor distante, e é justamente por isso que a medida é boa em sinalizar atípicos.
O divisor. O populacional divide a soma dos quadrados por n, porque os valores são o grupo inteiro. O amostral divide por n − 1, porque a média de uma amostra fica um pouco perto demais dos próprios valores e dividir por um menos compensa. A resposta amostral é sempre a maior.
Se os seus números são tudo o que interessa - as notas da turma inteira, a altura das seis crianças - use a fórmula populacional. Se são uma amostra escolhida para representar algo maior, use n − 1. A maioria dos trabalhos de estatística pede a versão amostral, e quase todo enunciado diz qual quer.
Ache a média, subtraia-a de cada valor, eleve cada diferença ao quadrado, some os quadrados, divida por n (ou n − 1) e tire a raiz quadrada. Esta página imprime essa tabela toda para você comparar cada linha com o seu próprio desenvolvimento, não só o número final.
Porque senão eles somam exatamente zero - as distâncias positivas e negativas se cancelam pela própria definição de média. O quadrado remove os sinais e também dá mais peso às distâncias grandes, e é por isso que um único atípico move tanto o desvio padrão.
A variância é a média dos desvios ao quadrado; o desvio padrão é a raiz quadrada dela. As unidades da variância estão ao quadrado - quilos quadrados, centímetros quadrados - e são difíceis de interpretar, então a raiz devolve a resposta às unidades dos dados.
Negativo nunca: é uma raiz quadrada de uma média de quadrados. Zero apenas quando todos os valores são idênticos, o único caso sem distância à média para medir. Se você obteve um número negativo, um sinal foi perdido na tabela.
Aproximadamente a que distância da média fica um valor típico. Em dados com distribuição em forma de sino, cerca de dois terços dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média e cerca de 95% dentro de dois - é isso que o torna a régua padrão para «este valor é incomum?».
Porque são as respostas exatas. A média de 1, 2 e 4 é 7/3, e todo quadrado construído sobre 2.33 fica ligeiramente errado. O decimal é oferecido ao lado do valor exato, não em lugar dele, e é rotulado como aproximação sempre que a raiz é irracional.
