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Calculadora de regressão exponencial

A curva y = a·bˣ que se ajusta a dados de crescimento ou decaimento, com a taxa por passo.

Por Nethanel Bar, Cofundador e CEO

Última atualização

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A regressão exponencial ajusta um crescimento que multiplica em vez de somar

Uma reta soma a mesma quantidade a cada passo de x. Muitas coisas multiplicam pelo mesmo fator: dinheiro a juros compostos, uma cultura de bactérias, a carga que resta numa bateria, a diferença de temperatura entre uma bebida que esfria e o ambiente. Esse padrão é y = a·bˣ, em que a é o valor em x = 0 e b é o fator aplicado a cada passo. Se b é maior que 1 a grandeza cresce, se b está entre 0 e 1 ela decai, e (b menos 1) em porcentagem é a taxa por passo.

O jeito padrão de ajustá-la é tirar o logaritmo natural de cada y. Se y = a·bˣ, então ln y = ln a + x·ln b, que é uma reta em x. Assim o método ajusta uma reta comum de mínimos quadrados aos pontos (x, ln y), lê ln b na inclinação e ln a no intercepto e desfaz os logaritmos. É o que fazem o comando ExpReg da TI-84 e a linha de tendência exponencial do Excel, e esta página mostra cada etapa: a coluna de ln y, a reta ajustada e as duas exponenciais que trazem a e b de volta.

Como logaritmos são irracionais, esta é a única calculadora de regressão do grupo cujas respostas são decimais arredondados em vez de frações exatas, e ela avisa isso ao lado do resultado. Ela também precisa que todo y seja maior que 0, já que o logaritmo de 0 ou de um número negativo não existe. O r² mostrado é o r² do ajuste linear a ln y, que é o número que uma calculadora gráfica informa.

O que observar na curva

  • b é o fator por passo e (b menos 1) é a taxa. b ≈ 0,8195 significa que cada passo mantém cerca de 81,95% do valor anterior, um decaimento de cerca de 18,05% por passo.
  • a é o valor ajustado em x = 0, não necessariamente o primeiro dado. Para y = 100, 82, 67, 55, 45, 37 em x = 0 a 5 o ajuste dá a ≈ 99,9517.
  • A mesma curva pode ser escrita y = a·eᵏˣ com k = ln b. k positivo é crescimento, k negativo é decaimento, e ln 2 / |k| é o tempo de duplicação ou a meia-vida.
  • O ajuste é de mínimos quadrados em ln y, não em y. Ele dá o mesmo peso a um erro de 10% seja y 5 ou 5000, o que combina com dados que crescem em porcentagem.
  • Um r² alto na escala logarítmica não prova que o crescimento é exponencial. Os dados lineares 5, 4, 3, 2, 1 ainda dão r² ≈ 0,9473 num ajuste exponencial.

Como fazer uma regressão exponencial à mão

  1. Tire o logaritmo de cada y

    Troque cada y por ln y. Para x = 0, 1, 2, 3, 4 e y = 3, 6, 12, 24, 48 a nova coluna é cerca de 1,0986; 1,7918; 2,4849; 3,1781 e 3,8712.

  2. Ajuste uma reta a (x, ln y)

    Use as fórmulas comuns de mínimos quadrados para a inclinação e o intercepto nos pontos (x, ln y). Aqui a inclinação é cerca de 0,6931 e o intercepto cerca de 1,0986.

  3. Desfaça os logaritmos

    A inclinação é ln b e o intercepto é ln a, então b = e elevado à inclinação e a = e elevado ao intercepto. Aqui b ≈ e^0,6931 = 2 e a ≈ e^1,0986 = 3.

  4. Escreva a curva e leia a taxa

    y ≈ 3·2ˣ, ou y ≈ 3e^(0,6931x) na base e. b = 2 significa que cada passo multiplica y por 2: crescimento de 100% por passo e tempo de duplicação de exatamente um passo.

Ajustes exponenciais para conjuntos pequenos

Cada linha é um conjunto de dados digitado na calculadora acima. Todos os valores estão arredondados para quatro casas decimais.

Valores de xValores de yCurva de melhor ajusteVariação por passor² de ln y
0, 1, 2, 3, 43, 6, 12, 24, 48y ≈ 3 · 2ˣ+100%1
0, 1, 2, 3, 4, 5100, 82, 67, 55, 45, 37y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ-18.05%1.0000
1, 2, 3, 4, 52.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ+103.13%0.9999
0, 1, 2, 3, 41000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625y ≈ 1000 · 1.05ˣ+5%1
0, 1, 2, 3, 45, 4, 3, 2, 1y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ-32.38%0.9473

Exemplos resolvidos

Dobrando a cada passo

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48

Cada y é o dobro do anterior, então os pontos ficam exatamente sobre y = 3·2ˣ e a calculadora devolve a ≈ 3 e b ≈ 2, um crescimento de 100% por passo, com r² = 1. Na base e a mesma curva é y ≈ 3e^(0,6931x), e 0,6931 é ln 2. Levada até x = 6, ela prevê 3·2⁶ = 192.

Decaimento: uma xícara de café esfriando

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37

Leia y como a diferença de temperatura em relação ao ambiente, medida a cada cinco minutos. O ajuste é y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ, ou y ≈ 99,9517e^(-0,1991x): cerca de 18,05% da diferença some a cada passo, e a meia-vida é ln 2 / 0,1991, cerca de 3,48 passos. O ajuste logarítmico é quase perfeito: r² é 0,99999 com cinco casas, que a calculadora arredonda para 1.

Crescimento com ruído

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36

Os valores quase dobram a cada passo, sem dobrar exatamente. O ajuste é y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ, um crescimento de cerca de 103,13% por passo, com r² ≈ 0,9999 na escala logarítmica. Na base e, k ≈ 0,7087, então o tempo de duplicação é ln 2 / 0,7087, cerca de 0,98 passo.

Juros compostos

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625

Um saldo de 1000 rendendo 5% ao ano. A calculadora recupera y ≈ 1000 · 1,05ˣ, uma variação de +5% por passo, com r² = 1. Ler a taxa de juros de volta a partir de uma lista de saldos é exatamente para o que serve este ajuste.

Quando os dados não são exponenciais

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1

Estes pontos caem a mesma quantidade a cada passo, então estão sobre uma reta, y = -x + 5. Um ajuste exponencial ainda devolve y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ com r² ≈ 0,9473 na escala logarítmica, o que parece razoável. Desenhe a curva junto dos pontos e ela erra nas duas pontas: aqui o modelo certo é uma reta, e a regressão linear a ajusta exatamente.

Erros comuns

  • Incluir um y igual a 0 ou negativo. O logaritmo não está definido aí, então o método não roda. Se os dados chegam mesmo a 0, eles não são exponenciais.
  • Ler b como a porcentagem. b = 1,05 significa crescimento de 5% por passo, e b = 0,82 significa decaimento de 18% por passo, não de 82%.
  • Confundir a com o primeiro valor de y. a é o valor ajustado em x = 0; ele só coincide com o primeiro dado quando o ajuste é exato e os dados começam em x = 0.
  • Usar logaritmo na base 10 num passo e base e no outro. Qualquer base serve, desde que a mesma base seja usada para tirar os logaritmos e para desfazê-los.
  • Confiar no r² da escala logarítmica como prova de crescimento exponencial. Dados lineares podem passar de 0,9; desenhe a curva junto dos pontos.
  • Extrapolar muito à frente. O crescimento exponencial sempre acaba ficando sem espaço, e uma curva ajustada não tem como saber quando.

Perguntas frequentes sobre regressão exponencial

Como faço uma regressão exponencial à mão?
Tire o logaritmo natural de cada y, ajuste uma reta comum de mínimos quadrados aos pontos (x, ln y) e desfaça os logaritmos: b é e elevado à inclinação e a é e elevado ao intercepto. Para y = 3, 6, 12, 24, 48 em x = 0 a 4 a reta tem inclinação 0,6931 e intercepto 1,0986, que dão b = 2 e a = 3, então y = 3·2ˣ.
O que significam a e b em y = a·bˣ?
a é o valor de y quando x = 0, e b é o fator pelo qual y é multiplicado a cada aumento de 1 em x. b maior que 1 é crescimento e b entre 0 e 1 é decaimento. A taxa por passo é (b menos 1) em porcentagem: b = 1,05 é +5%, b = 0,8195 é cerca de -18,05%.
Como encontro a taxa de crescimento a partir de dados?
Ajuste a curva e leia b. A calculadora imprime a variação por passo de x em porcentagem: +103,13% no exemplo do crescimento com ruído desta página, -18,05% no café esfriando. Se x é medido em anos, essa é a taxa anual.
Qual a diferença entre y = a·bˣ e y = a·eᵏˣ?
Só a notação. São a mesma curva com k = ln b, então b = eᵏ. A forma na base e é comum em ciências porque k é a taxa contínua, e ln 2 / |k| dá diretamente o tempo de duplicação ou a meia-vida.
Por que a calculadora dá decimais em vez de frações?
Porque o método tira logaritmos, e o logaritmo de um número inteiro é quase sempre irracional. As calculadoras linear e quadrática deste grupo dão frações exatas; esta dá valores arredondados para quatro casas decimais e os marca como aproximados.
Por que minha resposta é um pouco diferente da do Excel ou da minha calculadora gráfica?
Ela deve bater com o ExpReg da TI-84 e com a linha de tendência exponencial do Excel, que ajustam ln y por mínimos quadrados, a menos de arredondamento. Um software que ajusta y diretamente por mínimos quadrados não lineares minimiza outra quantidade e dá a e b um pouco diferentes, porque dá mais peso aos erros nos maiores valores.
y pode ser negativo ou zero na regressão exponencial?
Não. O método tira o logaritmo de cada y, e ln 0 e o logaritmo de um número negativo não existem. Uma curva y = a·bˣ com a positivo fica sempre acima de 0, então dados que chegam a 0 não seguem uma curva dessas.

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