Menu
Coddy logo textMath
ÖĞRENMEYE BAŞLA
flag Tr iconTürkçedown icon

Üstel Regresyon Hesaplama

Büyüme ya da azalma verisine uyan y = a·bˣ eğrisi, adım başına oranıyla.

Yazan Nethanel Bar, Kurucu Ortak ve CEO

Son güncelleme

Bunları hesap makinesi olmadan çözmek ister misin?

Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.

Ücretsiz başla

Üstel regresyon, toplayarak değil çarparak büyüyen değişimi uydurur

Bir doğru x'in her adımında aynı miktarı ekler. Pek çok şey ise aynı çarpanla çarpılır: bileşik faizdeki para, bir bakteri kültürü, bir pilde kalan şarj, soğuyan bir içecekle oda arasındaki sıcaklık farkı. Bu örüntü y = a·bˣ'tir; burada a, x = 0'daki değer, b ise her adımda uygulanan çarpandır. b 1'den büyükse nicelik büyür, 0 ile 1 arasındaysa azalır ve (b eksi 1)'in yüzde karşılığı adım başına orandır.

Onu uydurmanın standart yolu her y'nin doğal logaritmasını almaktır. y = a·bˣ ise ln y = ln a + x·ln b olur ve bu, x'e göre bir doğrudur. Yöntem (x, ln y) noktalarına sıradan bir en küçük kareler doğrusu uydurur, ln b'yi eğiminden, ln a'yı kesim noktasından okur ve logaritmaları geri alır. TI-84'teki ExpReg komutu ve Excel'deki üstel eğilim çizgisi de bunu yapar; bu sayfa her aşamayı gösterir: ln y sütunu, uydurulan doğru ve a ile b'yi geri getiren iki üstel.

Logaritmalar irrasyonel olduğu için bu, setteki cevapları tam kesir değil yuvarlanmış ondalık olan tek regresyon hesaplayıcısıdır ve sonucun yanında bunu belirtir. Ayrıca her y'nin 0'dan büyük olmasını ister, çünkü 0'ın ya da negatif bir sayının logaritması yoktur. Gösterilen r², ln y'ye uydurulan doğrunun r²'sidir; grafik hesap makinesinin bildirdiği değer de budur.

Eğri hakkında dikkat edilecekler

  • b adım başına çarpan, (b eksi 1) ise orandır. b ≈ 0.8195, her adımın önceki değerin yaklaşık %81.95'ini koruduğu, yani adım başına yaklaşık %18.05 azalma olduğu anlamına gelir.
  • a, x = 0'daki uydurulmuş değerdir; ilk veri noktası olmak zorunda değildir. x = 0'dan 5'e y = 100, 82, 67, 55, 45, 37 için uyum a ≈ 99.9517 verir.
  • Aynı eğri k = ln b ile y = a·eᵏˣ olarak da yazılabilir. Pozitif k büyüme, negatif k azalmadır ve ln 2 / |k| ikiye katlanma süresi ya da yarı ömürdür.
  • Uyum y üzerinde değil ln y üzerinde en küçük karelerdir. %10'luk bir ıskalamayı y 5 de olsa 5000 de olsa aynı ağırlıkta tartar; bu da yüzdeyle büyüyen verilere uyar.
  • Logaritmik ölçekte yüksek bir r², büyümenin üstel olduğunu kanıtlamaz. Doğrusal 5, 4, 3, 2, 1 verisi bile üstel uyum için r² ≈ 0.9473 verir.

Üstel regresyon elle nasıl yapılır

  1. Her y'nin logaritmasını alın

    Her y'yi ln y ile değiştirin. x = 0, 1, 2, 3, 4 ve y = 3, 6, 12, 24, 48 için yeni sütun yaklaşık 1.0986, 1.7918, 2.4849, 3.1781 ve 3.8712'dir.

  2. (x, ln y) noktalarına bir doğru uydurun

    (x, ln y) noktaları üzerinde eğim ve kesim noktası için sıradan en küçük kareler formüllerini kullanın. Burada eğim yaklaşık 0.6931, kesim noktası yaklaşık 1.0986'dır.

  3. Logaritmaları geri alın

    Eğim ln b, kesim noktası ln a'dır; yani b = e üzeri eğim, a = e üzeri kesim noktası. Burada b ≈ e^0.6931 = 2 ve a ≈ e^1.0986 = 3.

  4. Eğriyi yazın ve oranı okuyun

    y ≈ 3·2ˣ ya da e tabanında y ≈ 3e^(0.6931x). b = 2, her adımın y'yi 2 ile çarptığı anlamına gelir: adım başına %100 büyüme ve tam olarak bir adımlık ikiye katlanma süresi.

Küçük veri kümeleri için üstel uyumlar

Her satır, yukarıdaki hesaplayıcıya yazılmış bir veri kümesidir. Bütün değerler dört ondalık basamağa yuvarlanmıştır.

x değerleriy değerleriEn uygun eğriAdım başına değişimln y'nin r²'si
0, 1, 2, 3, 43, 6, 12, 24, 48y ≈ 3 · 2ˣ+100%1
0, 1, 2, 3, 4, 5100, 82, 67, 55, 45, 37y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ-18.05%1.0000
1, 2, 3, 4, 52.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ+103.13%0.9999
0, 1, 2, 3, 41000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625y ≈ 1000 · 1.05ˣ+5%1
0, 1, 2, 3, 45, 4, 3, 2, 1y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ-32.38%0.9473

Çözümlü örnekler

Her adımda ikiye katlanma

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48

Her y bir öncekinin iki katıdır; yani noktalar tam olarak y = 3·2ˣ üzerindedir ve hesaplayıcı a ≈ 3 ve b ≈ 2, adım başına %100 büyüme ve r² = 1 döndürür. e tabanında aynı eğri y ≈ 3e^(0.6931x)'tir ve 0.6931, ln 2'dir. x = 6'ya taşındığında 3·2⁶ = 192 tahmin eder.

Azalma: soğuyan bir fincan kahve

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37

y'yi, her beş dakikada bir ölçülen, odayla aradaki sıcaklık farkı olarak okuyun. Uyum y ≈ 99.9517 · 0.8195ˣ ya da y ≈ 99.9517e^(-0.1991x)'tir: her adımda farkın yaklaşık %18.05'i kaybolur ve yarı ömür ln 2 / 0.1991, yaklaşık 3.48 adımdır. Logaritmik uyum neredeyse kusursuzdur: r² beş basamağa kadar 0.99999'dur ve hesaplayıcı bunu 1'e yuvarlar.

Gürültülü büyüme

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36

Değerler her adımda kabaca ikiye katlanır, ama tam olarak değil. Uyum y ≈ 1.0413 · 2.0313ˣ, adım başına yaklaşık %103.13 büyümedir ve logaritmik ölçekte r² ≈ 0.9999'dur. e tabanında k ≈ 0.7087, yani ikiye katlanma süresi ln 2 / 0.7087, yaklaşık 0.98 adımdır.

Bileşik faiz

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625

Yılda %5 kazandıran 1000'lik bir bakiye. Hesaplayıcı y ≈ 1000 · 1.05ˣ'i, adım başına +%5 değişimi ve r² = 1'i geri bulur. Bir bakiye listesinden faiz oranını geri okumak, bu uyumun tam olarak işidir.

Veri üstel olmadığında

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1

Bu noktalar her adımda aynı miktarda azalır, yani bir doğru üzerindedir: y = -x + 5. Üstel uyum yine de logaritmik ölçekte r² ≈ 0.9473 ile y ≈ 5.6968 · 0.6762ˣ döndürür ve bu kabul edilebilir görünür. Eğriyi noktalarla birlikte çizin, iki uçta da ıskalar: burada doğru model düz bir doğrudur ve doğrusal regresyon onu tam olarak uydurur.

Sık yapılan hatalar

  • 0 veya daha küçük bir y'yi dahil etmek. Logaritma orada tanımsızdır, bu yüzden yöntem çalışamaz. Veri gerçekten 0'a ulaşıyorsa üstel değildir.
  • b'yi yüzde olarak okumak. b = 1.05 adım başına %5 büyüme, b = 0.82 ise adım başına %82 değil %18 azalma demektir.
  • a'yı ilk y değeriyle karıştırmak. a, x = 0'daki uydurulmuş değerdir; ilk veri noktasıyla ancak uyum tamsa ve veri x = 0'dan başlıyorsa örtüşür.
  • Bir adımda 10 tabanlı logaritma, ötekinde e kullanmak. Logaritmayı almak ve geri almak için aynı taban kullanıldığı sürece her taban işe yarar.
  • Logaritmik ölçekteki r²'yi üstel büyümenin kanıtı saymak. Doğrusal veriler 0.9'un üstünde puan alabilir; eğriyi noktalarla birlikte çizin.
  • Çok ileriye kestirimde bulunmak. Üstel büyüme eninde sonunda yer bulamaz hâle gelir ve uydurulan bir eğrinin bunun ne zaman olacağını bilmesinin yolu yoktur.

Üstel regresyon hakkında sık sorulanlar

Üstel regresyon elle nasıl yapılır?
Her y'nin doğal logaritmasını alın, (x, ln y) noktalarına sıradan bir en küçük kareler doğrusu uydurun, sonra logaritmaları geri alın: b, e üzeri eğim; a, e üzeri kesim noktasıdır. x = 0'dan 4'e y = 3, 6, 12, 24, 48 için doğrunun eğimi 0.6931, kesim noktası 1.0986'dır; bunlar b = 2 ve a = 3 verir, yani y = 3·2ˣ.
y = a·bˣ'te a ve b ne anlama gelir?
a, x = 0 iken y'nin değeridir; b ise x'teki her 1 birimlik artışta y'nin çarpıldığı çarpandır. 1'den büyük b büyüme, 0 ile 1 arasındaki b azalmadır. Adım başına oran, (b eksi 1)'in yüzde karşılığıdır: b = 1.05, +%5; b = 0.8195 yaklaşık -%18.05'tir.
Veriden büyüme oranını nasıl bulurum?
Eğriyi uydurun ve b'yi okuyun. Hesaplayıcı x'in her adımındaki değişimi yüzde olarak basar: bu sayfadaki gürültülü ikiye katlanma örneği için +%103.13, soğuyan kahve için -%18.05. x yıl cinsinden ölçülüyorsa bu yıllık orandır.
y = a·bˣ ile y = a·eᵏˣ arasındaki fark nedir?
Gösterimden başka hiçbir şey. k = ln b ile aynı eğridirler, yani b = eᵏ. e tabanlı biçim bilimde yaygındır, çünkü k sürekli orandır ve ln 2 / |k| ikiye katlanma süresini ya da yarı ömrü doğrudan verir.
Hesaplayıcı neden kesir yerine ondalık veriyor?
Çünkü yöntem logaritma alır ve bir tam sayının logaritması neredeyse her zaman irrasyoneldir. Bu setteki doğrusal ve ikinci dereceden hesaplayıcılar tam kesir verir; bu ise dört ondalık basamağa yuvarlanmış değerler verir ve onları yaklaşık olarak işaretler.
Cevabım neden Excel'den ya da grafik hesap makinemden biraz farklı?
TI-84'ün ExpReg komutuyla ve Excel'in üstel eğilim çizgisiyle, yuvarlama dışında, aynı çıkmalıdır; ikisi de ln y'yi en küçük karelerle uydurur. y'yi doğrusal olmayan en küçük karelerle doğrudan uyduran yazılımlar başka bir niceliği en aza indirir ve biraz farklı a ve b verir, çünkü en büyük değerlerdeki ıskalamalara en çok ağırlığı verir.
Üstel regresyonda y negatif ya da sıfır olabilir mi?
Hayır. Yöntem her y'nin logaritmasını alır ve ln 0 ile negatif bir sayının logaritması yoktur. Pozitif a'lı bir y = a·bˣ eğrisi zaten her zaman 0'ın üstündedir; yani 0'a ulaşan veriler böyle bir eğriyi izlemiyordur.

Diğer matematik araçları

İkinci Dereceden Regresyon Hesaplama

Noktalarınızdan geçen en uygun parabol, tam katsayılar ve R² ile.

Standart Sapma Hesaplayıcı

Sapma tablosu satır satır - gerçekten değerlendirildiğiniz kısım.

Ortalama, Ortanca ve Mod Hesaplayıcı

Üç merkez ölçüsü, ayrıca açıklık ve çeyrekler, çözümleriyle.

P-Değeri Hesaplayıcı

Bir z, t veya ki-kare istatistiğinden p-değerine, kuyruk çizilmiş ve karar açıklanmış olarak.

Coddy programlama dilleri çizimi

Coddy ile matematik öğren

BAŞLA