Türkçe
Noktalarınızdan geçen en uygun parabol, tam katsayılar ve R² ile.
Son güncelleme
Coddy matematik dersi yöntemin kendisini öğretir: her adımı etkileşimli bir tahtada işlersin ve hangi hamlenin nerede yanlış gittiğini tam olarak öğrenirsin.
Bazı veriler önce artar sonra azalır ya da önce azalır sonra artar: atılan bir topun yüksekliği, farklı fiyatlardaki kâr, bir arabanın farklı hızlarda yaktığı yakıt. Böyle verilerden geçen bir doğru, ne kadar iyi yerleştirilirse yerleştirilsin yanlış biçimdedir. İkinci dereceden regresyon bunun yerine bir parabol uydurur, y = ax² + bx + c, ve a, b, c'yi noktalardan olan düşey ıskalamaların kareleri toplamı olabildiğince küçük olacak şekilde seçer. Doğrusal regresyondaki en küçük kareler fikrinin aynısıdır, yalnızca seçilecek bir katsayı fazladır.
Kare ıskalamaları en aza indirmek, a, b ve c bilinmeyenli, normal denklemler denen üç denkleme götürür; bunlar x, x², x³, x⁴, y, xy ve x²y toplamlarından kurulur. Grafik hesap makinesi onları kayan noktalı sayılarla çözer. Bu sayfa tam kesirlerle çözer; bu yüzden -8/7 katsayısı -1.142857 olarak değil -8/7 olarak basılır ve R² de tam bir kesirdir.
Her noktanın tahmin edilen değeri ve artığı cevabın altında listelenir. İyi bir ikinci dereceden uyum, gürültüye benzeyen artıklar bırakır: sıfırın üstüne ve altına örüntüsüz dağılmış. Artıklar hâlâ eğriliyorsa ya da tablo boyunca düzenli olarak büyüyorsa parabol de doğru biçim değildir ve başka bir model denemeye değer.
Her nokta için x, x², x³, x⁴, y, xy ve x²y hesaplayın, sonra her sütunu toplayın ve noktaları sayın. x = 0, 1, 2, 3 ve y = 1, 2, 5, 11 için: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 ve Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy ve aΣx² + bΣx + cn = Σy. Yukarıdaki toplamlarla: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45 ve 14a + 6b + 4c = 19.
Kesirleri tam tutarak harfleri teker teker yok edin. Bu sistem a = 1.25, b = -0.45 ve c = 1.05 verir; yani y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Her x'i eğriye koyun ve tahmini gerçek y'den çıkarın. Burada artıklar -0.05, 0.15, -0.15 ve 0.05'tir, karelerinin toplamı 0.05'tir ve R² = 1214/1215, yaklaşık 0.9992.
Her satır, yukarıdaki hesaplayıcıya yazılmış bir veri kümesidir; bildirdiği tam katsayılar ve R² ile birlikte.
| x değerleri | y değerleri | En uygun parabol | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Normal denklemler a = 1.25, b = -0.45 ve c = 1.05 verir; yani y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Tahminler 1.05, 1.85, 5.15 ve 10.95, artıklar -0.05, 0.15, -0.15 ve 0.05'tir ve R² = 1214/1215, yaklaşık 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8En uygun parabol y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7, R² = 887/917, yaklaşık 0.9673'tür. a negatif olduğu için eğrinin bir zirvesi vardır: x = 33/8 = 4.125'te, y = 697/56, yaklaşık 12.45. Aynı noktalardan geçen bir doğru ancak r² = 375/917, yaklaşık 0.4089'a ulaşır, çünkü dönemez.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Birer saniye arayla metre cinsinden yükseklikler. Uyum tamdır: y = -5x² + 20x + 2, her artık 0 ve R² = 1. -5, 10 m/s²'ye yuvarlanmış yerçekimi ivmesinin yarısıdır; 20 fırlatma hızı, 2 ise fırlatma yüksekliğidir. Zirve x = 2, y = 22'dedir.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Bunlar (x - 1)²'nin değerleridir ve hesaplayıcı, aynı parabolün açılmış hâli olan y = x² - 2x + 1'i R² = 1 ve her artık 0 olarak döndürür. Bir değer kümesinin gerçekten tek bir ikinci dereceden ifadeden gelip gelmediğini kontrol etmenin hızlı bir yoludur.
