مجموعة الكتاب المدرسي
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5بسط الصيغة 30 والقوسان في المقام 50 و30، فـ r = 30 / √1500 = √15/5، أي نحو 0.7746. وr² = 0.6 بالضبط. الوصف ارتباط قوي موجب، وخط أفضل ملاءمة هو y = 0.6x + 2.2.
حاسبة معامل الارتباط
معامل ارتباط بيرسون r لبياناتك، دقيقًا على صورة جذر، مع قوته والحل الذي يقف وراءه.
آخر تحديث
تريد حل هذه المسائل بدون حاسبة؟
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
r يقيس مدى اتباع النقاط لخط مستقيم
معامل الارتباط r عدد واحد بين -1 و1. إشارته اتجاه الميل العام: موجبة عندما تميل y إلى الارتفاع مع ارتفاع x، وسالبة عندما تميل إلى الانخفاض. ومقداره هو مدى التصاق النقاط بخط مستقيم: 1 أو -1 عندما تقع كل النقاط على خط واحد، و0 عندما لا يوجد أي اتجاه خطي. وليس له وحدات، فلا يتغير عندما تقيس x بالسنتيمترات بدل الأمتار.
الحساب هو ما يطلب منك مقرر الإحصاء أن تعرضه. أنشئ جدولًا فيه x وy وxy وx² وy²، واجمع كل عمود، وعوّض المجاميع في r = (nΣxy ناقص ΣxΣy) مقسومًا على الجذر التربيعي لـ (nΣx² ناقص (Σx)²) مضروبًا في (nΣy² ناقص (Σy)²). وتطبع هذه الصفحة ذلك الجدول والصيغة معوّضة تحت الإجابة، فيصل العدد ومعه حله.
الإجابة دقيقة. فمربع r كسر دائمًا على بيانات يمكنك كتابتها، ولذلك فـ r نفسه جذر تربيعي لكسر مع إشارة، وهذا ما تطبعه الصفحة: √15/5 لمجموعة الكتاب المدرسي بدل 0.77، التي هي منزلتان منه فقط. والقيمة العشرية بجانب الجذر، ووصف القوة يقرؤها مقابل الحدود المذكورة أدناه.
كيف تقرأ r
- الإشارة هي الاتجاه والمقدار هو القوة. r = -0.95 علاقة أقوى من r = 0.6، لكنها تسير في الاتجاه المعاكس فقط.
- تصف هذه الصفحة |r| من 0.7 فأكثر بأنه قوي، ومن 0.4 إلى أقل من 0.7 بأنه متوسط، ومن 0.1 إلى أقل من 0.4 بأنه ضعيف، وما دون 0.1 بأنه لا ارتباط خطي. هذه اصطلاحات شائعة لا قواعد، ولكل مجال حدوده.
- r² هو نسبة التغير في y التي يفسّرها خط أفضل ملاءمة. فـ r = √15/5 يعطي r² = 0.6: الخط يفسّر 60% من التغير.
- r يقيس العلاقات الخطية فقط. فالنقاط الواقعة تمامًا على y = x² من x = -2 إلى 2 لها r = 0.
- قيمة شاذة واحدة قد تغيّر r كليًا. أضف النقطة (10, 0) إلى مجموعة الكتاب المدرسي فينتقل r من نحو 0.7746 إلى نحو -0.5529.
- لا يتغير r عندما تغيّر مقياس أي من المتغيرين أو تبدّل x بـ y. أما خط أفضل ملاءمة فيتغير عند التبديل، وr لا يتغير.
كيف تحسب معامل الارتباط يدويًا
أنشئ جدول المجاميع
لكل نقطة اكتب x وy وxy وx² وy²، ثم اجمع كل عمود وعُدّ النقاط. فمع x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5 تحصل على n = 5 وΣx = 15 وΣy = 20 وΣxy = 66 وΣx² = 55 وΣy² = 86.
احسب البسط
nΣxy ناقص ΣxΣy = 5 × 66 ناقص 15 × 20 = 30. وإشارته هي إشارة r.
احسب القوسين في المقام
nΣx² ناقص (Σx)² = 275 ناقص 225 = 50، وnΣy² ناقص (Σy)² = 430 ناقص 400 = 30. وكلاهما موجب دائمًا إلا إذا تساوت كل قيم x أو كل قيم y.
اقسم وبسّط
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. وقيمته العشرية نحو 0.7746، أي ارتباط قوي موجب.
قراءة r بنظرة واحدة
الأوصاف هي التي تطبعها هذه الحاسبة. وr² هو r مضروبًا في نفسه، فتختفي الإشارة.
| r | الوصف | r² | شكل مخطط الانتشار |
|---|---|---|---|
| 1 | ارتباط تام موجب | 1 | كل النقاط على خط صاعد واحد |
| 0.9 | ارتباط قوي موجب | 0.81 | شريط ضيق يصعد نحو اليمين |
| 0.7 | ارتباط قوي موجب | 0.49 | شريط صاعد واضح مع بعض التشتت |
| 0.5 | ارتباط متوسط موجب | 0.25 | اتجاه صاعد مع تشتت كثير |
| 0.2 | ارتباط ضعيف موجب | 0.04 | ميل لن تلاحظه دون العدد |
| 0.05 | لا ارتباط خطي | 0.0025 | سحابة بلا شكل، أو منحنى |
| -0.8 | ارتباط قوي سالب | 0.64 | شريط واضح ينزل نحو اليمين |
| -1 | ارتباط تام سالب | 1 | كل النقاط على خط نازل واحد |
أمثلة محلولة
ارتباط سالب قوي
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2البسط -168 والقوسان 105 و296، فـ r = -168 / √31080 = -2√7770/185، أي نحو -0.9529. وr² = 168/185، أي نحو 0.9081. كلما ارتفعت x انخفضت y بثبات؛ والنقطة الوحيدة التي تكسر النمط، (3, 9)، لا تكفي لإضعافه كثيرًا.
ارتباط ضعيف
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4، أي نحو 0.3536، وr² = 0.125، فالخط المستقيم يفسّر ثُمن التغير في y. الوصف ارتباط ضعيف موجب: يوجد ميل صاعد، لكن مخطط الانتشار سيُظهر ضوضاء في معظمه.
علاقة تامة مع r = 0
plain
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4كل النقاط تقع على y = x²، ومع ذلك r = 0 بالضبط. بسط الصيغة 5 × 0 ناقص 0 × 10 = 0: النصف الأيسر النازل يلغي النصف الأيمن الصاعد. r يقيس العلاقات الخطية فقط، ولهذا يأتي مخطط الانتشار أولًا.
ماذا تفعل قيمة شاذة واحدة
plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0هذه مجموعة الكتاب المدرسي مع نقطة إضافية عند (10, 0). ينخفض r من نحو 0.7746 إلى -52√8845/8845، أي نحو -0.5529: النقطة الوحيدة بعيدة بما يكفي لتقلب الإشارة. والأمر نفسه في الاتجاه الآخر: x من 1 إلى 5 مع y = 3, 1, 4, 1, 5 لها r ≈ 0.3536، وإضافة (12, 12) ترفعه إلى نحو 0.9084.
أخطاء شائعة
- تربيع المجموع بدل جمع المربعات. Σx² لـ x من 1 إلى 5 تساوي 55، و(Σx)² تساوي 225. والخلط بينهما قد يعطي r أكبر من 1، وهذا مستحيل.
- قراءة r = 0 على أنها لا علاقة. معناها لا علاقة خطية؛ فالنقاط قد تقع مع ذلك تمامًا على منحنى.
- اعتبار r القوي دليلًا على السببية. قد ترتفع كميتان معًا لأن كمية ثالثة تحرّكهما، أو بالصدفة.
- مقارنة قيم r بإشارتها. -0.9 أقوى من 0.6. قارن المقادير، واقرأ الإشارة وحدها على أنها الاتجاه.
- ذكر r دون النظر إلى المخطط. قيمة شاذة واحدة قد تقلب الإشارة، ومنحنى قد يختبئ وراء قيمة مرتفعة.
- تقريب r ثم تربيعه. r ≈ 0.77 يعطي 0.5929، لكن r² يساوي 0.6 بالضبط لمجموعة الكتاب المدرسي. ربّع القيمة الدقيقة.
أسئلة شائعة عن معامل الارتباط
كيف أحسب معامل الارتباط؟
أنشئ جدولًا فيه x وy وxy وx² وy² لكل نقطة واجمع كل عمود. ثم r = (nΣxy ناقص ΣxΣy) / √((nΣx² ناقص (Σx)²)(nΣy² ناقص (Σy)²)). فمع x من 1 إلى 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5 يكون ذلك 30 / √(50 × 30) = √15/5، أي نحو 0.7746. الصق أعمدتك أعلاه وستعوّض الصفحة في الصيغة بالطريقة نفسها.
ما معامل الارتباط القوي؟
تسمّي هذه الحاسبة |r| من 0.7 فأكثر قويًا، ومن 0.4 إلى أقل من 0.7 متوسطًا، ومن 0.1 إلى أقل من 0.4 ضعيفًا، وما دون 0.1 لا ارتباط خطي. هذه حدود شائعة في الكتب المدرسية لا حدود عامة: ففي مختبر الفيزياء قد تكون 0.9 مخيبة، وفي العلوم الاجتماعية قد تكون 0.4 نتيجة لافتة.
ما الفرق بين r وr تربيع؟
لـ r إشارة وليس لـ r² إشارة. r يخبرك بالاتجاه والقوة، وr² يخبرك بنسبة التغير في y التي يفسّرها خط أفضل ملاءمة. فـ r = 0.7746 يعطي r² = 0.6، أي أن الخط يفسّر 60% من التغير ويترك 40% تشتتًا.
هل يمكن أن يكون معامل الارتباط أكبر من 1؟
لا. r يقع دائمًا بين -1 و1 ولا يبلغ أحد الطرفين إلا عندما تقع كل النقاط على خط مستقيم واحد. والإجابة الأكبر من 1 تعني أن أحد المجاميع خطأ، وأكثر ذلك حساب Σx² على أنها (Σx)².
هل الارتباط المرتفع يعني أن أحدهما يسبب الآخر؟
لا. معناه أن الاثنين يتحركان معًا في هذه البيانات. قد يحرّكهما عامل ثالث، كما يرفع الطقس الحار مبيعات المثلجات وحوادث السباحة معًا، أو قد تسير السببية في الاتجاه المعاكس. وإثبات السببية يحتاج إلى تجربة أو حجة عن الآلية.
هل هذا ارتباط بيرسون أم سبيرمان؟
معامل بيرسون r، وهو معامل الارتباط المعتاد، ويقيس مدى ملاءمة خط مستقيم للقيم نفسها. أما معامل سبيرمان فيطبّق الصيغة نفسها على رتب القيم بدل القيم، فيقيس أي علاقة صاعدة أو نازلة بثبات ويكون أقل تأثرًا بالقيم الشاذة.
لماذا يُعرض r على صورة جذر تربيعي؟
لأن هذه قيمته الدقيقة. r² كسر دائمًا على بيانات يمكنك كتابتها، فـ r هو الجذر التربيعي لذلك الكسر مع إشارة: √15/5 لمجموعة الكتاب المدرسي. والعدد العشري 0.7746 مطبوع بجانبه تقريبًا، وهو ما يقرؤه وصف القوة.
كم نقطة أحتاج؟
ثلاث على الأقل هنا. فمع نقطتين يكون r دائمًا 1 أو -1، لأن خطًا يمر بأي نقطتين، فلا يقول العدد شيئًا عن البيانات. وحتى مع عدد قليل من النقاط قد يتأرجح r كثيرًا، فتعامل مع r من خمس نقاط على أنه قراءة تقريبية.
