العربية
خط أفضل ملاءمة لنقاطك، بقيم دقيقة، مع r وكل خطوة من خطوات الحل.
آخر تحديث
دورة الرياضيات في Coddy تعلّمك الطريقة نفسها: تعمل كل خطوة على لوح تفاعلي، ويخبرك بالضبط أين انحرفت الخطوة.
البيانات الحقيقية لا تقع أبدًا على خط مستقيم واحد، فأي خط ترسمه خلالها يخطئ معظم النقاط. وكل خطأ من هذه باقٍ: قيمة y الفعلية ناقص قيمة y التي يتوقعها الخط. يربّع الانحدار الخطي كل باقٍ، ويجمع المربعات، ويختار الخط الوحيد الذي يجعل المجموع أصغر ما يمكن. ذلك الخط هو خط انحدار المربعات الصغرى، ويُسمّى أيضًا خط أفضل ملاءمة، وهو خط واحد فقط لأي مجموعة نقاط ليست قيم x فيها كلها متساوية.
إيجاده يحتاج إلى خمسة أعداد: العدد n ومجاميع x وy وxy وx². الميل هو m = (nΣxy ناقص ΣxΣy) مقسومًا على (nΣx² ناقص (Σx)²)، والمقطع هو b = (Σy ناقص mΣx) مقسومًا على n. تبني هذه الصفحة جدول تلك المجاميع، وتعوّض أعدادك في الصيغتين، وتعرض كل سطر من الحل، لأن الجدول هو الجزء الذي يراجعه المعلم.
يبقى الميل والمقطع كسورًا دقيقة. فعلى بيانات من أعداد صحيحة وعشرية وكسور يكونان دائمًا عددين نسبيين، ولذلك يُكتب الميل 162/35 على صورة 162/35 لا 4.6286، الذي هو تقريب له. أما معامل الارتباط r فجذر تربيعي، فيظهر على صورة جذر وبجانبه قيمته العشرية. وزر النسخ يعطيك الخط بأعداد عشرية جاهزًا لجدول البيانات.
اكتب كل نقطة صفًا بأربعة أعمدة: x وy وxy وx². اجمع كل عمود وعُدّ النقاط. فمع x = 1, 2, 3, 4, 5 وy = 2, 4, 5, 4, 5 تحصل على n = 5 وΣx = 15 وΣy = 20 وΣxy = 66 وΣx² = 55.
m = (nΣxy ناقص ΣxΣy) / (nΣx² ناقص (Σx)²). وهنا يساوي (5 × 66 ناقص 15 × 20) / (5 × 55 ناقص 15²) = 30 / 50 = 0.6. أبقِه كسرًا إن لم يخرج عددًا عشريًا قصيرًا.
b = (Σy ناقص mΣx) / n. وهنا (20 ناقص 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. استعمل الميل الدقيق من الخطوة السابقة، لا ميلًا مقرّبًا.
y = 0.6x + 2.2. تحقق من أنه يمر بنقطة المتوسطين (3, 4): 0.6 × 3 + 2.2 = 4. وإن لم يمر بها فأحد المجاميع خطأ.
احسب r، أو انظر إلى البواقي. هنا r = √15/5، أي نحو 0.7746، والبواقي -0.8 و0.6 و1 و-0.6 و-0.2، ومجموع مربعاتها 2.4.
كل صف مجموعة بيانات أُدخلت في الحاسبة أعلاه. الميل والمقطع دقيقان، وr معروض على صورة جذر مع قيمته العشرية.
| قيم x | قيم y | خط أفضل ملاءمة | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5المجاميع Σx = 15 وΣy = 20 وΣxy = 66 وΣx² = 55 مع n = 5. الميل 30/50 = 0.6 والمقطع 11/5 = 2.2، فالخط y = 0.6x + 2.2. والبواقي -0.8 و0.6 و1 و-0.6 و-0.2، ومجموعها 0، ومجموع مربعاتها 2.4. ومعامل الارتباط r = √15/5، أي نحو 0.7746: ارتباط قوي موجب.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76المتوسطان 3.5 ساعة و64 درجة. الميل 162/35، أي نحو 4.63 درجة لكل ساعة، والمقطع 64 ناقص (162/35) × 3.5 = 47.8، فالخط y = (162/35)x + 47.8 مع r ≈ 0.9959. عند 4.5 ساعة يتوقع الخط 2402/35، أي نحو 68.63. وعند 12 ساعة يتوقع نحو 103.34 في اختبار من 100: استقراء خارجي لا تدعمه البيانات.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1كل خطوة بمقدار 1 في x تنقص y بمقدار 2، فالنقاط تقع تمامًا على y = -2x + 7. تجد الحاسبة هذا الخط، وكل باقٍ 0، ومجموع مربعات البواقي 0، وr = -1: ارتباط سالب تام.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15الخط y = 1.45x + 0.3 مع r ≈ 0.9889، وهو يمر بنقطة المتوسطين (6, 9). عند x = 7، داخل البيانات، يتوقع 10.45، وهذا استكمال داخلي تثق به بقدر جودة الملاءمة. وعند x = 60 يتوقع 87.3، على بعد خمسين وحدة من آخر نقطة، حيث لا شيء في البيانات يقول إن الاتجاه ما زال قائمًا.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25خط أفضل ملاءمة هو y = 5x - 10/3 مع r ≈ 0.9599، وهذا يبدو ممتازًا. لكن البواقي 10/3 و-2/3 و-8/3 و-8/3 و-2/3 و10/3: موجبة عند الطرفين وسالبة في الوسط. هذا الشكل U يعني أن النقاط تقع على منحنى، والانحدار التربيعي يلائمها تمامًا على صورة y = x².
