حاسبة الجذور

إجابة أي سؤال عن الجذور صورة، وليست عددًا عشريًا

ستخبرك الآلة الحاسبة أن الجذر التربيعي للعدد 72 يساوي 8.4852814، وهذه لا تكون تقريبًا أبدًا الإجابة التي يطلبها سؤال عن الجذور. المطلوب هو 6 في الجذر التربيعي للعدد 2، أي المقدار نفسه مكتوبًا بحيث لا تبقى أي قوة تامة مخبأة تحت العلامة. هذا الفرق هو الموضوع كله: تبسيط الجذر إعادة كتابة لا حساب، والصورة العشرية تُهدر بالضبط الضبط الذي كان مطلوبًا منك الحفاظ عليه.

كل شيء في هذه الصفحة مضبوط. الجذر التربيعي للعدد 72 هو 6√2، والجذر التكعيبي للعدد 54 هو 3∛2، وجذر ثلثين هو √6/3، وواحد على اثنين زائد √3 يساوي 2 − √3 بالضبط. وتُعرض قيمة عشرية بجانب كل إجابة، موسومة بوضوح بأنها تقريبية، لأنك تريد أحيانًا أن تعرف حجم المقدار على وجه التقريب، لكنها لا تُقدَّم أبدًا بدلًا من الإجابة.

تتقاسم ثلاثة أسئلة هذه الصفحة لأنها تتقاسم مهارة واحدة. التبسيط هو إيجاد أكبر قوة تامة داخل العدد الذي تحت الجذر. والجمع يخبرك ما إذا كان الجذران حدين متشابهين، وهذا ما لا يمكن معرفته قبل تبسيطهما. والإنطاق يخرج الجذر من المقام إما بالجذر نفسه وإما بالمرافق. وترجع الثلاثة جميعها إلى قاعدة واحدة: جذر حاصل الضرب هو حاصل ضرب الجذرين.

ما يجب ملاحظته

• أخرج أكبر مربع تام، لا أول مربع تلاحظه. فالعدد 72 يساوي 4 في 18 أيضًا، والتوقف هنا يترك √18 وهي ليست أبسط صورة بعد. وهو كذلك 36 في 2، و6√2 إجابة تامة.
• القوة التامة تسكن في التحليل إلى العوامل الأولية. فمتى كُتب 72 على صورة 2³·3²، صار كل زوج من الأعداد الأولية المتساوية عاملًا يمكنه الخروج من علامة الجذر التربيعي.
• لا يُجمع جذران إلا إذا كان العددان الباقيان تحت علامتيهما متطابقين. فـ √8 + √18 ممكن لأن كلًا منهما في الحقيقة من مضاعفات √2، أما √8 + √27 فغير ممكن، و2√2 + 3√3 هي الإجابة التامة.
• الكسر تحت العلامة والجذر في المقام مشكلة واحدة. فجذر ثلثين ليس في أبسط صورة، وضرب ما تحت العلامة في 3/3 يحوّله إلى √6/3، وهذه أبسط صورة.
• الدليل يحدد أي قوة تخرج. فتحت الجذر التربيعي تحتاج إلى أزواج، وتحت التكعيبي إلى ثلاثيات، وتحت الرابع إلى مجموعات من أربعة. ولهذا يعطي الجذر التكعيبي للعدد 54 ثلاثة لا ستة.

كيف تبسّط جذرًا بيدك

1. 1

   حلّل العدد الذي تحت الجذر إلى عوامله الأولية

   اكتب العدد الذي تحت العلامة على صورة حاصل ضرب أعداد أولية. فالعدد 72 هو 2·2·2·3·3، أي 2³·3². والبدء بهذا يعني أنك لن تحتاج أبدًا إلى تخمين ما إذا كان هناك مربع تام مخبأ.

2. 2

   اجمع الأعداد الأولية بحسب الدليل

   في الجذر التربيعي اجمع الأعداد الأولية في أزواج، وفي التكعيبي في ثلاثيات. والأزواج في 72 هي 2·2 و3·3، ويتبقى 2 وحده.

3. 3

   يخرج عامل واحد مقابل كل مجموعة كاملة

   كل زوج يسهم بنسخة واحدة من ذلك العدد الأولي خارج الجذر. فزوج الاثنينات يعطي 2 وزوج الثلاثات يعطي 3، فيخرج 6 ويبقى الاثنان الوحيد تحت العلامة: 6√2.

4. 4

   أزل أي كسر من تحت العلامة

   إذا بقي مقام في الداخل، فاضرب الكسر الداخلي في ما يجعل المقام قوة تامة. ففي ثلثين اضرب في 3/3 لتحصل على 6/9، ومنها يخرج √6/3.

5. 5

   تحقق بتربيع إجابتك

   6√2 مربعًا يساوي 36 في 2، أي 72. وهذا التحقق يكشف أشيع خطأ في سطر واحد: إخراج عامل أصغر من اللازم يترك مربعًا أقل من العدد الذي تحت الجذر.

الجذور في أبسط صورة

أكثر الحالات شيوعًا، وفي كل منها القوة التامة التي تؤدي العمل.

أمثلة محلولة

sqrt(72)

3*sqrt(8)

sqrt(8) + sqrt(18)

sqrt(8) + sqrt(27)

3/sqrt(2)

1/(2 + sqrt(3))

أخطاء شائعة

• إخراج أول مربع تام بدلًا من أكبرها. فكتابة √72 على صورة 2√18 صحيحة لكنها غير تامة، وتُحسب خطأ إذا كان السؤال يطلب «أبسط صورة جذرية».
• الإجابة بعدد عشري. فـ 8.485 ليس الجذر التربيعي للعدد 72 بل تقريبًا له. وإذا استخدم السؤال علامة جذر بقيت في الإجابة، إلا إذا خرج الجذر تمامًا.
• جمع العددين اللذين تحت العلامتين. فـ √4 + √9 يساوي 2 + 3 = 5 لا √13. والجذور لا تُجمع إلا كحدود متشابهة، ولا تُجمع أبدًا داخل العلامة.
• ضرب جذرين مختلفي الدليل. فـ √2 في ∛2 ليس √2 ولا ∛4: قاعدة الضرب تشترط تساوي الدليلين قبل أي دمج.
• ترك جذر في المقام. فـ √2/2 و1/√2 العدد نفسه، لكن الأولى وحدها في أبسط صورة، أما الثانية فما زال فيها جذر في الأسفل.
• معاملة جذر المجموع كأنه مجموع الجذرين. فجذر 9 + 16 هو √25 = 5 لا 3 + 4 = 7. وقاعدة الضرب تفصل حواصل الضرب لا المجاميع.
• نسيان أن جذر العدد السالب ذا الدليل الزوجي ليس حقيقيًا، بينما الفردي حقيقي. فلا يوجد جذر رابع حقيقي للعدد −16، لكن الجذر التكعيبي للعدد −8 يساوي −2 بالضبط.

أسئلة شائعة عن الجذور