خاصية التوزيع
a(b + c) = ab + ac تُذكر عادة كقاعدة ثم يُدرّب عليها. تصبح أسهل في التذكّر بعد أن تراها، لأنها صورة: مستطيل واحد مقطوع إلى قسمين.
آخر تحديث
من المؤكّد تقريبًا أنك استخدمت خاصية التوزيع دون أن يُقال لك اسمها. فإذا سُئلت عن 7 × 23 يحسب معظم الناس 7 × 20 = 140، ثم 7 × 3 = 21، ثم يجمعون فيصلون إلى 161. وهذا هو 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 — القاعدة مطبّقة على الحساب.
وفي الجبر تؤدّي العمل نفسه على الحروف، وهي السبب في إمكان إزالة الأقواس أصلًا. وهذا سبب صحّتها.
قطع المستطيل لا يغيّر مساحته. هذه هي خاصية التوزيع بأكملها.
إنه مستطيل واحد مقطوع
اضبط الأشرطة على a = 3 و b = 4 و c = 2 وانظر إلى الشكل.
المستطيل كله ارتفاعه 3 وعرضه 4 + 2 = 6، فمساحته 3(4 + 2) = 18. والقطع الرأسي يقسمه إلى قطعة 3 في 4 وقطعة 3 في 2، بمساحتين 3*4 = 12 و 3*2 = 6 — و12 + 6 تساوي 18.
وهذا هو البرهان كله. قطع المستطيل لا يغيّر مساحته، فلا بدّ أن يكون التعبير ذو القطعة الواحدة والتعبير ذو القطعتين متساويين، أيًّا كانت الأعداد. حرّك الأشرطة الثلاثة كلها فلن يختلف المجموعان أبدًا.
وبالصيغة العامة: a(b + c) = a*b + a*c.
وتسميات الأضلاع تستحقّ النظر، لأنها تقول أي عدد يفعل ماذا. فـ a خارج القوسين ويضرب كلتا القطعتين، لأن كلتيهما ارتفاعها a. ولا شيء داخل القوسين يضرب أي شيء آخر.
حالة السالب، وهي موضع الانزلاق
الآن أنزل c إلى ما تحت الصفر.
يغيّر المستطيل الثاني لونه وينتقل إلى داخل الأول، لأن العرض السالب يعني أن القطعة تُطرح. فعند a = 3 و b = 4 و c = -2 يكون المجموع 3(4 - 2) = 6 — والقطعتان هما 3*4 = 12 وناقص 3*2 = 6. اثنتا عشرة إلا ستًّا.
إذن تنتقل إشارة السالب إلى الحدّ الثاني:
a(b - c) = a*b - a*c
وهذا هو الخطأ الذي يستحقّ الاحتراس منه. كتابة -2(x + 3) على صورة -2x + 6 خطأ؛ فـ -2 يضرب كلا الحدّين ويعطي -2x - 6. وإن شككت يومًا فعوّض بعدد: عند x = 1 يساوي التعبير الأصلي -2(1 + 3) = -8، ولا يعطي -8 إلا -2x - 6.
استخدامها لحلّ شيء
إزالة الأقواس نادرًا ما تكون الهدف بذاته — إنها خطوة نحو إفراد حرف. وهذه هي داخل عملية حلّ:
ويستحقّ الانتباه: المسار أعلاه لم يفكّ القوسين إطلاقًا، لأن 27 قابلة للقسمة على 3 فكان أسرع أن نقسم الطرفين أولًا. فالتوزيع أداة لا واجب — والفكّ إلى 3x + 12 = 27 يصل إلى x = 5 نفسها بطريق أطول.
قراءتها بالمقلوب
اقرأ a*b + a*c = a(b + c) من اليمين إلى اليسار فيكون لديك التحليل إلى عوامل: أن تلاحظ عاملًا مشتركًا بين كل الحدود وتخرجه إلى الأمام. فـ 6x + 9 تصبح 3(2x + 3) لأن الحدّين يقبلان القسمة على 3.
إنها الصورة نفسها منظورًا إليها من الجهة الأخرى: فبدل أن تقطع مستطيلًا، تلاحظ أن مستطيلين لهما الارتفاع نفسه ويمكن ضمّهما.
جرّب واحدة
في هذه وُضع السالب خارج القوسين بقصد. فإن وصلت إلى -1 فإن إشارة السالب لم تصل إلى 3.
أسئلة متكررة
- ما هي خاصية التوزيع؟
- تقول إن ضرب مجموع يعطي النتيجة نفسها التي يعطيها ضرب كل جزء ثم الجمع: a(b + c) = ab + ac. وهي ما يتيح إزالة الأقواس في الجبر، وهي السبب في أنك تستطيع حساب 7 × 23 ذهنيًا على صورة 7 × 20 زائد 7 × 3.
- لماذا a(b + c) = ab + ac صحيحة؟
- لأن الطرفين هما مساحة المستطيل نفسه. مستطيل ارتفاعه a وعرضه (b + c) مساحته a(b + c). اقطعه بخط رأسي إلى قطعة عرضها b وقطعة عرضها c فتكون المساحتان ab و ac. وقطع شكل لا يغيّر مقدار ما فيه، فلا بدّ أن يكون التعبيران متساويين.
- كيف تعمل مع إشارة سالبة؟
- تنتقل الإشارة إلى كل حدّ داخل القوسين. فـ -2(x + 3) تساوي -2x - 6 وليست -2x + 6: كلا الحدّين يُضرب في -2. وهذا أشهر خطأ مع الأقواس، ويستحقّ التحقّق منه كل مرة بسؤال: ماذا يحدث لو عوّضت بعدد؟
- ما الفرق بين التوزيع والتحليل إلى عوامل؟
- هما الحقيقة نفسها مستخدمة في اتجاهين متعاكسين. التوزيع يسير من a(b + c) إلى ab + ac ويزيل الأقواس. والتحليل يسير من ab + ac رجوعًا إلى a(b + c) ويضعها. والقدرة على قراءة القاعدة بالمقلوب هي ما يجعل التحليل ممكنًا.
- هل طريقة FOIL هي خاصية التوزيع؟
- نعم — FOIL هي خاصية التوزيع مطبّقة مرتين. لفكّ (x + 2)(x + 3) توزّع القوس الأول كاملًا على الثاني، ثم توزّع مرة أخرى داخل كل جزء. و FOIL مجرّد مُعين على تذكّر الحدود الأربعة الناتجة؛ ليست قاعدة منفصلة، ولهذا تتوقّف عن العمل عندما يصبح في القوس ثلاثة حدود، بينما يظلّ التوزيع يعمل.
الآن جرّبها بنفسك، فعلاً
قراءة حلّ شخص آخر ليست كالقدرة على الحل بنفسك. دورة الرياضيات في Coddy تضعك على لوح يتحقق من كل خطوة تقوم بها، فتعرف حقًا أين أنت.
تريد تجربتها على أرقامك؟
Equation Solver افتح الحاسبة