Un cilindro de radio 3 y altura 5
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r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π, unos 141.37. Eleva el radio al cuadrado antes de multiplicar por la altura; al revés da 225π, cinco veces de más.
Calculadora de volumen
Seis sólidos, cada uno con su fórmula escrita antes de usarla.
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Toda fórmula de volumen es un área por una altura
Un prisma - un ortoedro, un cilindro, cualquier cosa con la misma sección en toda su altura - tiene un volumen igual al área de la base por la altura. Esa única idea cubre dos de los seis sólidos de aquí: un ortoedro es largo × ancho × alto porque su base mide largo × ancho, y un cilindro es πr²h porque su base es un círculo de área πr². Aprender el patrón gana a memorizar fórmulas por separado.
Los que se afilan - el cono y la pirámide - se quedan exactamente en un TERCIO del prisma que los contendría. Misma base, misma altura, un tercio del volumen. Ese factor 1/3 no es arbitrario y es lo que más se olvida en este tema: un cono del mismo tamaño que un cilindro contiene la tercera parte, cosa que se recuerda mejor cuando has vertido uno dentro del otro.
La esfera es la rara con 4/3πr³, y conviene mantenerla exacta por la misma razón que todo lo demás aquí: π es irracional, así que 36π es una respuesta y 113.1 es un redondeo. Esta página conserva el símbolo, da el decimal al lado y añade el área superficial y la generatriz siempre que sean exactas.
En qué fijarse
- Para cualquier cosa con forma de prisma, el volumen es área de la base × altura. Verlo así convierte cuatro fórmulas en una idea más la fórmula del área correcta.
- Un cono o una pirámide es un tercio del prisma con la misma base y altura. Olvidar el 1/3 es el error clásico y hace la respuesta exactamente tres veces mayor.
- Todas las medidas deben estar en la misma unidad antes de empezar, y el volumen sale en esa unidad AL CUBO. Mezclar centímetros y metros es un error de un factor un millón.
- Duplicar una dimensión duplica el volumen; duplicar las tres lo multiplica por ocho. Por eso el volumen crece mucho más rápido que la longitud.
- π va en la respuesta, no en el desarrollo. 45π es exacto, y multiplicarlo hasta 141.37 al final no cuesta nada y es fácil de comprobar.
- La generatriz de un cono no es su altura. Es la hipotenusa del radio y la altura, por eso sale con raíz, y es lo que necesita el área lateral, no el volumen.
Cómo hallar un volumen
Identifica el sólido y escribe su fórmula
Hazlo antes de tocar un número. Cubo s³, ortoedro lah, cilindro πr²h, esfera 4/3πr³, cono 1/3πr²h, pirámide cuadrada 1/3s²h.
Comprueba que las unidades coinciden
Convierte todo a la misma unidad primero. Es el paso que arruina respuestas en silencio, porque la aritmética posterior parece perfecta.
Sustituye las medidas
Escribe la fórmula con tus números dentro antes de calcular nada. En un examen, esa línea sustituida suele valer un punto por sí sola.
Resuelve las potencias antes de multiplicar
En un cilindro de radio 3 y altura 5: eleva el 3 primero para obtener 9, y luego 9 · 5 = 45, o sea 45π. Multiplicar antes de elevar da otro número, y equivocado.
Da la respuesta en unidades cúbicas
Un radio en centímetros da un volumen en centímetros cúbicos. Deja π donde está salvo que se pida un decimal.
Las seis fórmulas, con un valor resuelto
Cada fórmula y lo que da en un ejemplo pequeño. Fíjate en el 1/3 de los dos sólidos que se afilan.
| Sólido | Fórmula | Ejemplo | Volumen exacto | Decimal |
|---|---|---|---|---|
| Cubo | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| Ortoedro | l · a · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| Cilindro | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| Esfera | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| Cono | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| Pirámide cuadrada | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| Esfera | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| Cilindro | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
Ejemplos resueltos
Una esfera de radio 3
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r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π, unos 113.1. El 27 y el 4/3 se cancelan limpiamente aquí, y por eso el radio 3 es el ejemplo de todos los libros. Su área superficial es 4πr² = 36π también, una coincidencia exclusiva de r = 3.
Un cono de radio 3 y altura 4
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r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π, unos 37.7. Compáralo con el cilindro de igual base y altura, que contiene 36π: el cono es exactamente un tercio. Su generatriz es √(3² + 4²) = 5, que el volumen no necesita pero el área lateral sí.
Un cubo de lado 4
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s = 4V = s³ = 4³ = 64, y ninguna π por ningún lado. Su área superficial es 6s² = 96, porque un cubo tiene seis caras cuadradas iguales. Las dos respuestas son enteras, y por eso es el útil para comprobar tu método.
Cuando la respuesta guarda una fracción: esfera de radio 2
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r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3, unos 33.51. El 3 no divide a 32, así que la respuesta exacta conserva la fracción: escribir 33.5 la pierde, y en cualquier enunciado que siga usando este valor el error viaja.
Errores frecuentes
- Olvidar el 1/3 de un cono o una pirámide. La respuesta sale exactamente tres veces mayor, y es el error más fácil de detectar en cuanto sabes buscarlo.
- Mezclar unidades. Convierte primero: un radio en centímetros con una altura en metros produce un número que no significa nada.
- Multiplicar antes de elevar. En πr²h es el radio lo que se eleva, no el producto: π · (3 · 5)² es una cantidad completamente distinta.
- Usar el diámetro como radio. Duplica r, lo que multiplica el volumen de un cilindro por cuatro y el de una esfera por ocho.
- Confundir volumen con área superficial. Uno es el espacio interior y sale en unidades cúbicas; la otra es la piel y sale en unidades cuadradas.
- Usar la generatriz en el volumen de un cono. El volumen necesita la altura perpendicular; la generatriz es para el área lateral.
Preguntas frecuentes sobre el volumen
¿Cuál es la fórmula del volumen de un cilindro?
V = πr²h: el área de la base circular por la altura. Para un radio de 3 y una altura de 5 eso es π · 9 · 5 = 45π, unos 141.37. Eleva el radio al cuadrado antes de multiplicar por la altura.
¿Cuál es el volumen de una esfera?
V = 4/3 πr³. Una esfera de radio 3 contiene 4/3 · π · 27 = 36π, unos 113.1. Es la única fórmula de aquí que no se puede leer como área de la base por altura, así que hay que memorizarla.
¿Por qué hay un 1/3 en las fórmulas del cono y la pirámide?
Porque un cono o una pirámide contiene exactamente un tercio del prisma con la misma base y la misma altura. Vierte un cono lleno en un cilindro del mismo tamaño y llena un tercio: el factor es un hecho sobre lo que se afila, no un truco.
¿En qué unidades sale un volumen?
En la unidad de tus medidas, al cubo. Centímetros dan centímetros cúbicos; metros dan metros cúbicos. Todas las medidas deben convertirse a la misma unidad ANTES de calcular, o la respuesta no significa nada.
¿Cómo hallo el volumen de una caja rectangular?
Multiplica las tres dimensiones: V = l · a · h. Es área de la base por altura como en cualquier prisma, ya que la base de una caja mide l · a. Una caja de 2 por 3 por 4 contiene 24 unidades cúbicas.
¿Qué diferencia hay entre volumen y área superficial?
El volumen es el espacio interior y se mide en unidades cúbicas; el área superficial es el área total del exterior y se mide en unidades cuadradas. Esta página da las dos siempre que el área superficial sea exacta: cubo, ortoedro, cilindro y esfera.
¿Qué es la generatriz de un cono?
La distancia del vértice bajando por el lado inclinado hasta el borde: √(r² + h²), por el teorema de Pitágoras aplicado al radio y la altura. Es más larga que la altura, la necesita el área lateral y no participa en el volumen.
¿Por qué mantener π como símbolo?
Porque 45π es exacto y 141.37 es un redondeo. Los enunciados de examen piden con frecuencia la respuesta en función de π justo porque se puede comprobar sin calculadora, y redondear pronto en un problema de varios pasos pierde precisión que los pasos siguientes necesitan.
