Reglas de los exponentes
Cinco reglas que todo el mundo copia en una ficha y la mitad aplica mal. Escritas como multiplicaciones repetidas, ninguna necesita memorizarse.
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Todo el mundo copia las reglas de los exponentes en una ficha y, un trimestre después, la mitad se aplican a lo que no toca. Eso no es un fallo de memoria. Una regla que solo has memorizado no te da forma de saber si aplica, así que se usa en todo lo que superficialmente encaja.
La solución es dejar de tratarlas como reglas. Elige una abajo y lee la línea del medio.
La línea del medio es la demostración. Cada una de estas reglas es evidente en cuanto escribes las potencias como multiplicaciones repetidas, así que nunca tienes que fiarte de la memoria.
Cada regla es un argumento de conteo
a^3 es una abreviatura. Lo que dice en realidad es a · a · a: tres copias de a multiplicadas. En cuanto los dos lados de una regla se escriben así, la regla deja de ser una afirmación y pasa a ser un recuento.
Multiplicar: dos copias junto a tres copias son cinco copias.
a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5
No sumaste los exponentes porque una regla lo dijera. Los sumaste porque estabas contando cuántas a acabaron en la línea.
Dividir: cinco copias sobre dos copias, y dos se cancelan.
a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3
Una potencia de una potencia: tres copias de "dos copias" son seis copias.
(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6
Tres reglas, un solo argumento. La razón de que la gente confunda "sumar" con "multiplicar" es que memorizó los verbos en lugar del recuento.
El cero y los negativos están forzados, no elegidos
Estos dos parecen convenios que alguien escogió, y no lo son.
Toma a3/a3. Cualquier cosa entre sí misma es 1. Pero la regla del cociente dice que es a^(3-3) = a^0. Las dos describen la misma división, así que a^0 = 1 es el único valor que mantiene las reglas coherentes.
Sigue bajando. Cada escalón hacia abajo divide una vez más entre a:
| potencia | valor con a = 2 |
|---|---|
| 2³ | 8 |
| 2² | 4 |
| 2¹ | 2 |
| 2⁰ | 1 |
| 2⁻¹ | 1/2 |
| 2⁻² | 1/4 |
Nada cambia de dirección en el cero: la mitad simplemente continúa. Eso es todo lo que es un exponente negativo: a^-n = 1/a^n. En particular no es un número negativo. 2^-3 es 1/8, que es positivo.
Los tres errores que conviene nombrar
Bases distintas no se combinan. 2^3 · 3^4 se queda como está. Las reglas hablan de contar copias de la misma cosa, y aquí se cuentan dos cosas distintas.
Sumar términos no es multiplicarlos. x^2 + x^3 no es x^5. Escríbelo: dos copias más tres copias no son cinco copias, son la suma de dos cantidades distintas. Nada se cancela, nada se combina.
Las potencias se reparten sobre productos, no sobre sumas. (ab)^2 = a2b2 es cierto: dos copias de ab son dos a y dos b. Pero (a+b)^2 no es a^2 + b^2; se desarrolla como a^2 + 2ab + b^2, y ese término del medio es exactamente lo que predice la propiedad distributiva.
Prueba uno
Si has echado mano de la calculadora, inténtalo otra vez cancelando: cuatro copias de 3 sobre dos copias de 3 dejan dos copias, y dos copias de 3 son 9. Esa es la versión que sigue funcionando cuando la base es x en lugar de 3.
Adónde lleva esto
Las reglas de los exponentes son las que hacen funcionar la aritmética con notación científica, las que convierten una raíz en una potencia fraccionaria y las que permiten que un logaritmo transforme una multiplicación en una suma. Las tres son las mismas cinco reglas leídas en otra dirección, y esa es una buena razón para tenerlas por argumento y no de memoria.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuáles son las reglas de los exponentes?
- Cinco cubren casi todo: al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, al dividir se restan, al elevar una potencia a otra se multiplican, cualquier cosa elevada a 0 es 1, y un exponente negativo significa uno partido por la potencia positiva. Las cinco salen de escribir las potencias como multiplicaciones repetidas.
- ¿Por qué cualquier número elevado a 0 es 1?
- Por la regla del cociente. Cualquier número dividido entre sí mismo es 1, y la regla del cociente dice que esa misma división es la base elevada al exponente menos sí mismo, o sea 0. Las dos frases describen la misma división, así que a elevado a 0 tiene que ser 1. Está forzado, no decretado; la única excepción es 0 elevado a 0, que queda sin definir.
- ¿Qué significa un exponente negativo?
- Significa un inverso, no un número negativo. 2 elevado a -3 es 1/8, que es positivo. Al bajar el exponente vas dividiendo entre la base: 8, 4, 2, 1, y si sigues llegas a 1/2, 1/4, 1/8. Un exponente negativo indica cuántas veces dividir en lugar de multiplicar.
- ¿Cuándo puedo sumar exponentes y cuándo no?
- Solo cuando las bases son idénticas y estás multiplicando. 2 al cubo por 2 a la cuarta es 2 a la séptima, pero 2 al cubo por 3 a la cuarta no se puede combinar: cuentan cosas distintas. Sumar exponentes al sumar términos es el error más común aquí; x al cuadrado más x al cubo no es x a la quinta.
- ¿(a + b) al cuadrado es a al cuadrado más b al cuadrado?
- No, y conviene nombrar este error. Elevar al cuadrado se reparte sobre productos, no sobre sumas. (ab) al cuadrado sí es a al cuadrado por b al cuadrado, pero (a + b) al cuadrado se desarrolla como a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. El término del medio que falta es lo que hace visible la caja del FOIL.
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