Cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto no es un número con una propiedad rara que haya que consultar. Es una cantidad que se puede colocar formando un cuadrado de verdad, y todo lo demás sale de ahí.
Última actualización
"Cuadrado perfecto" suena a etiqueta que alguien asignó a una lista de números que ahora hay que memorizar. No lo es. El nombre describe una forma, y en cuanto ves la forma, la lista deja de necesitar memorización.
Mueve el control. Fíjate en lo que se añade cada vez.
Mueve el control un paso. La L sombreada es lo que se añadió: cuéntala y tendrás la diferencia entre dos cuadrados consecutivos.
El nombre es literal
6^2 = 36 no significa "al 6 se le ha aplicado la operación de elevar al cuadrado". Significa: coge 36 cuadraditos y puedes colocarlos como un cuadrado de 6 de lado. Coge 35 y no puedes: siempre te sobrará o te faltará algo. Eso es toda la definición, y por eso la palabra es "cuadrado" y no algo abstracto.
Lee la misma imagen al revés y tienes las raíces cuadradas. sqrt(36) = 6 es la pregunta "si 36 cuadraditos forman un cuadrado, ¿cuánto mide su lado?". Un número tiene raíz cuadrada entera exactamente cuando es cuadrado perfecto, y por eso las dos ideas se enseñan siempre juntas.
La lista que conviene saber
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Veinte entradas cubren prácticamente cualquier ejercicio escolar, porque los problemas se construyen hacia atrás desde respuestas que se puedan comprobar.
Los saltos son los números impares
Para esto está el control deslizante. Empújalo de 5 a 6 y cuenta la L sombreada que aparece: cinco cuadraditos por el lado nuevo, cinco por arriba y uno en la esquina. Once.
En general, pasar de n^2 a (n+1)^2 añade 2n+1 cuadraditos, siempre impar. Así que las diferencias entre cuadrados consecutivos van 3, 5, 7, 9, 11, 13…, y sumar los impares en orden da los cuadrados en orden:
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
También es una forma rápida de ampliar la tabla mentalmente. Si sabes que 14^2 = 196 y quieres 15^2, suma 2*14 + 1 = 29: 225.
Reconocer uno sin calculadora
Dos filtros te llevan casi todo el camino.
Mira la última cifra. Eleva cualquier número al cuadrado y termina en 0, 1, 4, 5, 6 o 9, nunca en 2, 3, 7 u 8. Así que 4.398 no es cuadrado perfecto y no has tenido que trabajar nada. No es casualidad: la última cifra de un producto depende solo de las últimas cifras de los factores, y elevar del 0 al 9 solo produce esas seis terminaciones.
Luego acótalo. 200 está entre 14^2 = 196 y 15^2 = 225, así que no queda ningún entero del que pueda ser el cuadrado. Cualquier número estrictamente entre dos cuadrados consecutivos no es uno de ellos.
Por qué aparecen tanto
Los cuadrados perfectos son la razón de que algunas cuadráticas se factoricen limpiamente y otras no. x^2 - 49 se separa como diferencia de cuadrados porque 49 lo es; x^2 - 50 no. También son lo que hace que una raíz se simplifique: sqrt(75) se convierte en 5sqrt(3) precisamente porque 25 es un cuadrado perfecto escondido dentro de 75.
Prueba uno
Y uno que va en el otro sentido: una ecuación en lugar de una consulta. Fíjate en que tiene dos respuestas, que es justo lo que más se falla con las raíces:
Tanto 7 como -7 elevados al cuadrado dan 49, así que ambos son soluciones. El símbolo sqrt(49) designa solo la positiva: eso es un convenio sobre el símbolo, no un hecho sobre la ecuación.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es un cuadrado perfecto?
- Un número entero que se obtiene multiplicando otro entero por sí mismo. 9 es cuadrado perfecto porque 3 por 3 es 9; 10 no lo es, porque ningún entero multiplicado por sí mismo da 10. El nombre es literal: exactamente esa cantidad de cuadraditos puede disponerse formando un cuadrado.
- ¿Cuáles son los cuadrados perfectos del 1 al 100?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100: los cuadrados del 1 al 10. Si sigues más allá de 100 aparecen 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 y 400, que llega hasta 20 al cuadrado y cubre casi todo lo que piden en clase.
- ¿Cómo sé si un número es cuadrado perfecto?
- Dos filtros rápidos y una comprobación. Un cuadrado perfecto nunca termina en 2, 3, 7 u 8, así que esos quedan descartados al instante. Si sobrevive, busca el cuadrado más cercano que conozcas: 200 está entre 196 y 225, así que no lo es. Solo cuando pasa los dos filtros hace falta calcular la raíz.
- ¿Por qué los saltos entre cuadrados perfectos son los números impares?
- Porque pasar de un cuadrado de lado n a uno de lado n+1 significa añadir una franja por un lado, otra por arriba y un cuadrito en la esquina: n + n + 1, que siempre es impar. Por eso las diferencias van 3, 5, 7, 9…, y sumar los impares en orden da los cuadrados en orden.
- ¿El 0 es un cuadrado perfecto?
- Sí. 0 por 0 es 0, así que encaja exactamente en la definición. Algunas listas escolares empiezan en 1 porque un cuadrado sin lado cuesta de imaginar, pero nada en la definición lo excluye, y tratar el 0 como cuadrado deja el álgebra posterior más ordenada.
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