El clásico: catetos 3 y 4
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a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25, y √25 = 5 exactamente. Es el triángulo 3-4-5, el más pequeño con tres lados enteros, y merece reconocerse al instante, igual que sus múltiplos 6-8-10 y 9-12-15.
Calculadora del teorema de Pitágoras
Dos lados en un triángulo dibujado dan el tercero, exacto y con radicales.
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Los cuadrados de los cateto suman el cuadrado de la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, y solo en él, a² + b² = c², donde c es la hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto y siempre el más largo de los tres. El enunciado habla de ÁREAS: construye un cuadrado sobre cada uno de los dos lados cortos y su área conjunta es exactamente el área del cuadrado construido sobre el más largo. Por eso todo se eleva al cuadrado y por eso la respuesta necesita una raíz al final.
Hacia dónde va la aritmética depende de qué lado falta, y ahí viven casi todos los errores. Si buscas la hipotenusa, SUMAS los dos cuadrados. Si buscas un cateto, RESTAS: a² = c² − b², porque el cuadrado de la hipotenusa es el total y el del cateto conocido es una parte. Sumar cuando toca restar da una respuesta mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible: una comprobación muy útil.
Las respuestas aquí son exactas. La hipotenusa de un triángulo con catetos 2 y 3 es √13, y √13 es lo que da esta página, con 3.6056 al lado y etiquetado como el redondeo que es. √20 se simplifica a 2√5 en lugar de dejarse tal cual, y un triángulo cuyos tres lados salen enteros se señala como la terna pitagórica que es.
En qué fijarse
- El teorema solo vale en triángulos rectángulos. En cualquier otro, a² + b² y c² son simplemente números distintos: ahí el teorema del coseno es la versión general.
- c siempre es el lado más largo. Si tu hipotenusa sale menor que un cateto, en algún punto una suma se convirtió en resta.
- Hallar un cateto es una resta. a² = c² − b² sale directo del teorema, y es el caso que se falla mucho más que la hipotenusa.
- Casi todas las respuestas son irracionales. Los triángulos con tres lados enteros - 3-4-5, 5-12-13 - son la excepción, y por eso importa la forma radical.
- El área de un triángulo rectángulo es ab/2: los dos catetos multiplicados y partidos por dos. La hipotenusa no aparece, porque los catetos ya se cortan en ángulo recto.
- Cualquier múltiplo de una terna es otra terna. 3-4-5 por 3 da 9-12-15, y por eso los mismos triángulos reaparecen sin parar en los ejercicios.
Cómo hallar el lado que falta
Identifica la hipotenusa
Es el lado opuesto al ángulo recto y el más largo de los tres. Equivocarse aquí estropea todos los pasos siguientes, así que etiquétala antes de calcular nada.
Decide si sumas o restas
Falta la hipotenusa: suma los cuadrados de los catetos. Falta un cateto: resta el cuadrado del cateto conocido al de la hipotenusa.
Eleva al cuadrado los lados que conoces
Primero al cuadrado, luego suma o resta. Elevar después de sumar - (a + b)² - es un número distinto y mucho mayor.
Saca la raíz cuadrada
Eso deshace el cuadrado y da el lado en sí. Si no sale entero, simplifica el radical en lugar de ir al decimal: √20 es 2√5.
Comprueba el tamaño
La hipotenusa debe ser más larga que cualquiera de los catetos y más corta que su suma. Si tu respuesta rompe alguna de las dos reglas, se cambiaron la suma y la resta.
Triángulos rectángulos de un vistazo
Las ternas que merece la pena memorizar y qué pasa cuando la respuesta no es entera. La columna exacta es la respuesta; el decimal es un redondeo.
| a | b | c | Exacto | Decimal |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
Ejemplos resueltos
Hipotenusa irracional: catetos 2 y 3
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a = 2, b = 34 + 9 = 13, así que la hipotenusa es √13. Esa es la respuesta: 3.6056 es un redondeo, y elevar 3.6056 al cuadrado da 12.9999… en lugar de 13. Casi todos los triángulos rectángulos son así; los de lados enteros son la excepción.
Simplificar el radical: catetos 2 y 4
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a = 2, b = 44 + 16 = 20, y √20 no se deja tal cual: 20 = 4 · 5, y el 4 sale de la raíz como un 2, dando 2√5. El mismo número, y la forma que espera cualquier corrección.
Hallar un cateto: hipotenusa 5, otro cateto 4
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b = 4, c = 5Reordena primero: a² = c² − b² = 25 − 16 = 9, así que a = 3. Sumar habría dado √41 ≈ 6.4, más largo que la hipotenusa: imposible, y la comprobación que caza este error al instante.
Lados fraccionarios: catetos 3/2 y 2
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a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4, y la raíz cuadrada de 25/4 es 5/2 exactamente. Las fracciones se mantienen todo el camino, y por eso la respuesta es 5/2 y no 2.5, aunque aquí sean el mismo número.
Errores frecuentes
- Sumar cuando el lado que falta es un cateto. El cuadrado de la hipotenusa es el TOTAL, así que hallar un cateto es restarle algo.
- Elevar la suma al cuadrado en lugar de sumar los cuadrados. a² + b² no es (a + b)²; el segundo es mayor en 2ab, que nunca es cero en un triángulo real.
- Etiquetar el lado equivocado como hipotenusa. Es la opuesta al ángulo recto, no simplemente la última dibujada o la de la derecha.
- Olvidar la raíz cuadrada. 3² + 4² = 25 es el cuadrado de la respuesta, no la respuesta: la hipotenusa es 5, no 25.
- Usar el teorema en un triángulo sin ángulo recto. Solo es cierto para rectángulos; cualquier otro pide el teorema del coseno.
- Redondear el radical demasiado pronto. √13 al cuadrado es exactamente 13, pero 3.61 al cuadrado es 13.0321, y en un problema de varios pasos ese error crece.
Preguntas frecuentes sobre el teorema de Pitágoras
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
En un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde a y b son los dos lados cortos (los catetos) y c es la hipotenusa, opuesta al ángulo recto. Leído como áreas: los cuadrados construidos sobre los catetos tienen exactamente el área conjunta del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
¿Cómo hallo la hipotenusa?
Eleva los dos catetos al cuadrado, súmalos y saca la raíz: c = √(a² + b²). Con catetos 3 y 4 eso es √25 = 5. Si la raíz no sale entera, déjala como radical simplificado: √20 pasa a 2√5.
¿Y cómo hallo un cateto?
Restando, no sumando: a² = c² − b², así que a = √(c² − b²). Con hipotenusa 5 y un cateto 4 eso es √(25 − 16) = 3. Es el caso que más se falla, y la comprobación es que un cateto siempre debe ser más corto que la hipotenusa.
¿Qué es una terna pitagórica?
Tres números enteros que cumplen el teorema: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Cualquier múltiplo de una terna también lo es, así que 6-8-10 y 9-12-15 vienen gratis con 3-4-5. Casi ningún triángulo rectángulo es una terna, y por eso las respuestas irracionales son la norma.
¿Funciona el teorema en cualquier triángulo?
No, solo en los rectángulos. Para cualquier otro, el enunciado general es el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos(C), que se reduce al de Pitágoras exactamente cuando C mide 90° y su coseno es cero.
¿Por qué esta página conserva raíces en vez de decimales?
Porque el radical es la respuesta exacta y el decimal es un redondeo. √13 al cuadrado es 13 exacto; 3.61 al cuadrado es 13.0321. En un problema de varios pasos esa diferencia se acumula, y además casi cualquier corrección quiere la forma exacta.
¿Cómo compruebo si un triángulo es rectángulo?
Prueba el teorema con los tres lados: si a² + b² es exactamente igual a c², con c el lado más largo, el triángulo tiene un ángulo recto. Si el lado izquierdo es mayor, el ángulo es agudo; si es menor, obtuso. Es el recíproco del teorema y una comprobación de verdad útil.
¿Acepta fracciones y decimales?
Sí, y los dos se mantienen exactos. Catetos de 3/2 y 2 dan una hipotenusa de exactamente 5/2, y un decimal se lee como la fracción exacta que nombra, no como una aproximación en coma flotante.
