El plano de coordenadas
Dos rectas numéricas cruzadas en ángulo recto y, de repente, cada pareja de números tiene un sitio. Las dos cosas que se suelen fallar son el orden del par y qué cuadrante es cuál: las dos merecen practicarse más que leerse.
Última actualización
Antes del plano de coordenadas, una recta era algo que dibujabas y una circunferencia algo que medías. Después de él, las dos son ecuaciones con las que puedes calcular. Todo el trazado de gráficas —y casi todo lo que harás en álgebra después— se apoya en una idea pequeña: una pareja de números nombra un lugar.
Haz clic en cualquier punto de la cuadrícula. Las líneas discontinuas muestran cómo se construye el par.
Haz clic donde quieras. Las líneas discontinuas muestran cómo se lee el par: primero a lo largo del eje x y después hacia arriba por el eje y.
Primero a lo ancho, después hacia arriba
Cada eje hace un solo trabajo. El eje x va de izquierda a derecha y mide cuánto avanzas; el eje y va de abajo arriba y mide cuánto subes. Donde se cruzan está el origen, que es (0, 0): ninguna distancia en ninguna de las dos direcciones.
Para nombrar un punto das dos números en un orden fijo: a lo ancho y después hacia arriba. Así que (3, 2) significa tres a la derecha y dos hacia arriba. Nada del propio punto dice qué número es cuál, así que el orden lleva esa información, y de ahí el nombre de pares ordenados y el hecho de que (3, 2) y (2, 3) sean lugares distintos.
Si sigues confundiéndolos, hay un truco que suele quedarse: la x va antes que la y en el alfabeto, así que va primero en el par.
Los negativos solo invierten la dirección. Una coordenada x negativa significa ir a la izquierda en vez de a la derecha; una y negativa, bajar en vez de subir. Haz clic por la parte inferior izquierda de la cuadrícula y verás que los dos signos se vuelven negativos a la vez.
Los cuatro cuadrantes
Los dos ejes cortan el plano en cuatro regiones, numeradas desde arriba a la derecha en sentido antihorario:
| cuadrante | x | y | ejemplo |
|---|---|---|---|
| I | positiva | positiva | (3, 2) |
| II | negativa | positiva | (-4, 1) |
| III | negativa | negativa | (-2, -3) |
| IV | positiva | negativa | (4, -2) |
El orden antihorario parece una elección extraña hasta que llegas a los ángulos, que también se miden en sentido antihorario desde el semieje x positivo. Las dos convenciones coinciden a propósito.
No hay una quinta región para los propios ejes. Un punto como (0, 3) está sobre el eje y, y uno como (-4, 0) sobre el eje x; ninguno está en un cuadrante, porque los ejes son las fronteras. El widget de arriba lo dice explícitamente cuando haces clic en uno, porque es justo el caso que la gente suele adivinar.
Marcar un conjunto entero de puntos
Cuando los puntos sueltos ya salen solos, una lista de ellos empieza a decir algo. Aquí hay cuatro puntos marcados sobre los mismos ejes:
No están dispersos: están alineados. Ese es el momento en el que el plano de coordenadas empieza a valer la pena: un patrón en una lista de números se convierte en una forma que puedes ver, y una forma que puedes ver casi siempre se puede escribir como una ecuación. En este caso cada y es la mitad de su x, así que la recta es y = 1/2x.
Prueba uno
La cuadrícula está arriba si la necesitas, pero intenta situar este primero en la cabeza.
El punto es (-3, 5), y la pregunta era a propósito sobre el segundo número, porque la costumbre de leer un par en orden es lo que de verdad conviene construir.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es el plano de coordenadas?
- Son dos rectas numéricas cruzadas en ángulo recto: una horizontal llamada eje x y otra vertical llamada eje y. Se cortan en un punto llamado origen, que es (0, 0). Con eso, cualquier punto de la superficie plana se puede nombrar con una pareja de números: cuánto hacia un lado y cuánto hacia arriba.
- ¿Qué número va primero en un par ordenado?
- La coordenada x, siempre. El par (3, 2) significa 3 a lo ancho y 2 hacia arriba, no al revés. El orden alfabético es una forma fiable de recordarlo: la x va antes que la y en el alfabeto y va primero en el par. La palabra «ordenado» de «par ordenado» está haciendo un trabajo real: (3, 2) y (2, 3) son dos puntos distintos.
- ¿Cómo se numeran los cuatro cuadrantes?
- Empiezan arriba a la derecha y van en sentido antihorario: el cuadrante I es el de arriba a la derecha, donde las dos coordenadas son positivas; el II es arriba a la izquierda (x negativa, y positiva); el III abajo a la izquierda (las dos negativas) y el IV abajo a la derecha (x positiva, y negativa). El sentido antihorario parece arbitrario, pero coincide con el sentido en el que se miden los ángulos, y por eso conviene aprenderlo así.
- ¿En qué cuadrante está un punto que cae sobre un eje?
- En ninguno. Los ejes son las fronteras entre cuadrantes, no parte de ninguno, así que de un punto como (0, 3) o (-4, 0) se dice que está sobre el eje y o sobre el eje x, no que esté en un cuadrante. El origen está sobre los dos.
- ¿Por qué se llama plano cartesiano?
- Por René Descartes, que publicó en 1637 la idea de nombrar los puntos con parejas de números. Es una de las ideas más útiles de las matemáticas: convierte la geometría en álgebra. Una recta deja de ser un dibujo y pasa a ser una ecuación, que es lo que permite calcular con ella.
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