Fracciones equivalentes
Dos fracciones sin ningún dígito en común pueden ser la misma cantidad. Parece un truco hasta que lo ves una vez como una longitud; después deja de sorprender.
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Pregunta a alguien si 2/3 y 8/12 son el mismo número y lo normal es que dude. Nada se parece: ni el numerador, ni el denominador, ni el tamaño de las cifras. Y sin embargo son la misma cantidad, exactamente, sin nada redondeado.
La razón se ve más fácil de lo que se dice, así que aquí está como una longitud.
La línea discontinua nunca se mueve. Cortar la misma longitud en más piezas cambia los dos números y no cambia nada de la cantidad sombreada.
Lo que no cambia es la longitud sombreada
La barra de arriba está cortada en 3 piezas con 2 sombreadas. La de abajo es la misma barra, cortada en 6, con 4 sombreadas. Sube el multiplicador y la barra inferior queda cortada en 9, luego en 12, luego en 15 piezas — y la línea discontinua nunca se mueve.
Esa línea es toda la idea. Una fracción es una longitud, y los dos números son solo una descripción de cómo la cortas. El denominador dice en cuántas piezas se cortó el total; el numerador, cuántas tomaste. Corta cada pieza por la mitad y tendrás el doble de piezas, cada una la mitad de grande, y habrás tomado el doble. Dos cambios que se cancelan.
Así que 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12, y la lista no termina: cada fracción tiene infinitas formas equivalentes.
Crear una: multiplica arriba y abajo por lo mismo
Para escribir una fracción de otra manera, multiplica las dos partes por el mismo número:
2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
El número lo eliges tú, y en los problemas reales se elige por un motivo: normalmente porque necesitas un denominador concreto. Si una pregunta necesita tercios escritos sobre 12, el multiplicador es 4, porque 3*4 = 12.
La única regla que importa: las dos partes, o ninguna. Multiplicar solo el numerador da 8/3, cuatro veces más grande. Mueve el deslizador superior de la figura y verás saltar la línea discontinua: eso es lo que hace cambiar un solo número.
Dividir funciona igual, al revés. 8/12 dividido arriba y abajo por 4 es 2/3, y otra vez nada se ha movido.
Al revés: simplificar
Bajar por la lista en lugar de subir se llama simplificar, y es la forma en la que se espera casi cualquier respuesta. Divide arriba y abajo por el máximo común divisor:
| fracción | divisor común | irreducible |
|---|---|---|
| 8/12 | 4 | 2/3 |
| 15/25 | 5 | 3/5 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 14/21 | 7 | 2/3 |
| 9/12 | 3 | 3/4 |
Una fracción es irreducible cuando el único número entero que divide a las dos partes es 1. Fíjate en que tres fracciones de aspecto distinto de esa tabla se reducen a 2/3: eran la misma cantidad desde el principio, escrita con cortes distintos.
Si el divisor común no es evidente, puedes sacarlo por etapas. 24/36 es par, así que divide entre 2 y obtienes 12/18; otra vez, 6/9; y luego entre 3, 2/3. Llegar en tres pasos fáciles no es peor que llegar en uno ingenioso.
Para qué hacen falta
Las fracciones equivalentes no son un tema aparte. Existen porque sumar fracciones es imposible sin ellas.
1/2 + 1/3 no se puede contar, porque un medio y un tercio son piezas de tamaños distintos. Reescribe las dos sobre 6 — 1/2 = 3/6 y 1/3 = 2/6 — y ahora son piezas de un solo tamaño, así que se suman sin más: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Cada paso de denominador común que hagas en tu vida son dos fracciones equivalentes escritas. Por eso esta idea va primero.
Prueba una
Si te salió 9/12, dividiste una vez y te detuviste: 9 y 12 todavía comparten el factor 3. Sigue hasta que el único número que divida a ambos sea 1.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué son las fracciones equivalentes?
- Dos fracciones son equivalentes cuando describen la misma cantidad, aunque los números se vean distintos. 2/3 y 8/12 son equivalentes: corta una barra en 3 piezas y sombrea 2, o corta la misma barra en 12 piezas y sombrea 8, y la parte sombreada llega exactamente al mismo punto.
- ¿Cómo encuentro una fracción equivalente?
- Multiplica arriba y abajo por el mismo número. 2/3 pasa a 4/6 (por 2), 6/9 (por 3), 8/12 (por 4), y así indefinidamente. Multiplicar las dos partes por el mismo número equivale a cortar cada pieza en esa cantidad de piezas más pequeñas: cambia el recuento de piezas, no cuánto tienes.
- ¿Por qué no puedo multiplicar solo el numerador?
- Porque el numerador cuenta piezas y el denominador dice de qué tamaño es cada pieza. Cambiar solo el numerador significa tomar más piezas del mismo tamaño, y eso sí es más. Hay que cambiar el tamaño de la pieza al mismo tiempo, y multiplicar el denominador por el mismo número es lo que lo hace.
- ¿Cómo simplifico una fracción?
- Divide arriba y abajo por su máximo común divisor. Para 8/12 ese divisor es 4, así que 8/12 se convierte en 2/3. Una fracción es irreducible cuando el único número que divide a ambas partes es 1, y esa es la forma en la que se espera casi cualquier respuesta.
- ¿Para qué sirven las fracciones equivalentes?
- Para sumar y restar. Piezas de distinto tamaño no se pueden contar juntas, así que 1/2 + 1/3 no avanza hasta reescribir ambas con el mismo denominador: 3/6 + 2/6 = 5/6. Cada una de esas reescrituras es una fracción equivalente, y por eso toda la aritmética de fracciones se apoya en esta idea.
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