La circunferencia unitaria
Una circunferencia de radio 1 y, con ella, todos los valores de seno, coseno y tangente que te van a pedir recordar. Arrastra el ángulo y mira de dónde salen los números.
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Casi todo lo que a la gente le cuesta de la trigonometría es en realidad un problema de memoria: demasiados valores, demasiados signos y ninguna forma de comprobar si el que acabas de escribir es plausible. La circunferencia unitaria lo arregla. Es una sola imagen que contiene todos los valores que necesitas y que hace que un signo equivocado parezca evidentemente equivocado.
Arrastra el punto de abajo. Fíjate en los dos catetos discontinuos mientras das la vuelta.
Arrastra el punto. El cateto verde es cos y el rojo es sen; por eso el punto es (cos, sen).
Por qué el punto es (cos, sen)
La circunferencia tiene radio 1, y en eso está todo el truco.
Traza una recta desde el centro hasta la circunferencia con cierto ángulo y después baja una vertical desde ese punto hasta el eje x. Ya tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio, así que la hipotenusa vale 1.
En ese triángulo, el coseno es contiguo partido por hipotenusa. El cateto contiguo es el horizontal y la hipotenusa vale 1, así que el coseno es el cateto horizontal: dividir por 1 no cambia nada. El mismo argumento hace que el seno sea el cateto vertical.
Así que las coordenadas del punto son exactamente (cos(x), sin(x)): primero la distancia horizontal y después la vertical. Por eso el cateto verde de la figura está etiquetado como coseno y el rojo como seno, y por eso el orden empieza por el coseno: x antes que y, horizontal antes que vertical.
La tangente es la tercera y no es una longitud de la figura: es el cociente sin(x)/cos(x), que es la pendiente de la recta que has trazado.
Los tres números que de verdad necesitas
Pon la figura en 30, 45 y 60 grados y mira los valores:
| ángulo | cos | sen |
|---|---|---|
| 30° | sqrt(3)/2 | 1/2 |
| 45° | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 |
| 60° | 1/2 | sqrt(3)/2 |
Tres valores distintos —1/2, sqrt(2)/2 y sqrt(3)/2— y fíjate en que 30° y 60° son la misma pareja intercambiada. No es casualidad: los dos ángulos suman 90°, así que sus triángulos son el mismo triángulo visto desde el otro extremo.
Todo lo que hay en los otros tres cuadrantes es uno de esos tres números con un signo delante. Cuál es el signo lo decide dónde estás, y lo puedes leer directamente en la figura: el coseno es la distancia horizontal, así que es negativo en la mitad izquierda. El seno es la distancia vertical, así que es negativo en la mitad inferior. No hay nada que memorizar: solo mira hacia dónde apunta el cateto.
Grados y radianes son el mismo ángulo
Cambia la figura a radianes y vuelve a dar la vuelta. La imagen no cambia en nada; solo cambia la etiqueta.
Una vuelta completa son 360° y también 2pi radianes, porque la longitud de una circunferencia de radio 1 es 2pi, así que «un radián» significa «un arco de la longitud de un radio». Media vuelta son 180° o pi. De ahí, los ángulos notables son fracciones evidentes de media vuelta: 30° es la sexta parte de 180°, así que es pi/6; 45° es la cuarta, pi/4; 60° la tercera, pi/3.
Los radianes parecen más difíciles y en realidad son más fáciles, porque el denominador te dice cuántas veces cabe ese ángulo en media vuelta.
Donde se rompe la tangente
Arrastra hasta 90° y la lectura de la tangente dice no definida. No es una limitación del widget: es aritmética. En 90° el punto está justo arriba, en (0, 1), así que cos(x) vale 0, y la tangente es sin(x)/cos(x). No existe ningún número igual a 1 dividido por 0.
Lo mismo pasa en 270°. En cualquier otro sitio la tangente es un número perfectamente normal, y en 45° vale exactamente 1, lo cual tiene sentido: allí el seno y el coseno son iguales, y cualquier cosa dividida por sí misma da 1.
Prueba una
Aparta la figura un momento y responde de memoria. Si te equivocas, la circunferencia está justo ahí.
Si has tenido que mirar, es un dato útil: significa que la imagen todavía no te sale automáticamente, y hacer una docena de estas es justo lo que lo arregla.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la circunferencia unitaria?
- Es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Su utilidad viene de un hecho: si trazas una recta desde el centro con cierto ángulo y marcas dónde corta a la circunferencia, las coordenadas de ese punto son exactamente (coseno del ángulo, seno del ángulo). Así, la circunferencia convierte una pregunta sobre triángulos en una pregunta sobre coordenadas, que es mucho más fácil de imaginar.
- ¿Por qué el punto es (cos, sen) y no (sen, cos)?
- Porque el coseno mide la distancia horizontal y la coordenada x es la horizontal. Baja una vertical desde el punto hasta el eje x y obtienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1. El cateto horizontal es el contiguo al ángulo, así que es coseno partido por 1, es decir el coseno. El cateto vertical es el opuesto, así que es el seno. Por tanto la coordenada x es el coseno y la y es el seno, en ese orden.
- ¿Tengo que memorizar toda la circunferencia unitaria?
- No, e intentarlo es el error habitual. Solo hay tres valores que necesitas —1/2, √2/2 y √3/2— y una regla para los signos. Todo lo demás son esos tres números con un más o un menos delante, decidido por el cuadrante en el que estás. Aprende el primer cuadrante y la regla de los signos y ya tienes los dieciséis ángulos.
- ¿Cómo paso de grados a radianes?
- Una vuelta completa son 360 grados y también 2π radianes, así que media vuelta son 180 grados y π radianes. De ahí sale la conversión: multiplica los grados por π/180 para tener radianes, o los radianes por 180/π para tener grados. En la práctica casi nunca hace falta calcularlo: 30, 45, 60 y 90 grados son π/6, π/4, π/3 y π/2, y cualquier otro ángulo notable es un múltiplo de esos.
- ¿Por qué la tangente no está definida en 90 grados?
- Porque la tangente es el seno dividido por el coseno, y en 90 grados el coseno vale 0. Dividir por cero no da ningún número, así que ahí la tangente no tiene valor. En la gráfica de la tangente eso se ve como una asíntota vertical: cuando el ángulo se acerca a 90 grados el valor se dispara sin llegar nunca a ningún sitio.
Ahora hazlo tú, de verdad
Leer el desarrollo de otra persona no es lo mismo que saber hacerlo. El curso de matemáticas de Coddy te pone en un tablero que comprueba cada movimiento que haces, así que descubres de verdad en qué punto estás.
