La circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. El punto de cualquier ángulo sobre ella es (cos, sen), así que una sola tabla reúne todos los valores notables del seno, el coseno y la tangente.
Última actualización
Esta tabla da el seno y el coseno de los dieciséis ángulos notables, en grados y en radianes. Cámbiala para que muestre también la tangente, o pásala a una circunferencia en blanco que puedes imprimir y completar.
Tabla de la circunferencia unitaria
Valores de la circunferencia unitaria
Todos los valores de la tabla, en un solo cuadro. La tangente es el seno dividido entre el coseno, así que no tiene valor donde el coseno vale 0.
| Grados | Radianes | cos | sen | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | no definida |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | no definida |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Por qué el punto es (cos, sen)
Arrastra el punto alrededor de la circunferencia y fíjate en los dos catetos discontinuos.
Arrastra el punto. El cateto verde es cos y el rojo es sen, por eso el punto es (cos, sen).
La circunferencia tiene radio 1, y en eso está todo el truco. Traza una recta desde el centro hasta la circunferencia con cierto ángulo y después baja una vertical desde ese punto hasta el eje x. Ya tienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio, así que la hipotenusa vale 1.
En ese triángulo, el coseno es el cateto contiguo partido por la hipotenusa. El cateto contiguo es el horizontal y la hipotenusa vale 1, así que el coseno es el cateto horizontal. El mismo argumento hace que el seno sea el cateto vertical. Por eso el punto es (cos(x), sin(x)): primero la distancia horizontal y después la vertical, x antes que y.
Los tres números que de verdad necesitas
El primer cuadrante contiene todos los valores que usa la circunferencia:
| ángulo | cos | sen |
|---|---|---|
| 30° | √3/2 | 1/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | 1/2 | √3/2 |
Tres valores distintos: 1/2, √2/2 y √3/2. Fíjate en que 30° y 60° son la misma pareja intercambiada. Los dos ángulos suman 90°, así que sus triángulos son el mismo triángulo visto desde el otro extremo.
Signos en cada cuadrante
Cualquier ángulo fuera del primer cuadrante usa uno de esos tres números con un signo. Para encontrarlo, toma el ángulo de referencia, el ángulo entre la recta y el eje x: a 150° le faltan 30° para llegar a 180°, así que su ángulo de referencia es 30° y sus valores son los de 30° con otros signos.
Los signos salen de dónde está el punto. El coseno es la distancia horizontal, así que es negativo en la mitad izquierda de la circunferencia. El seno es la distancia vertical, así que es negativo en la mitad inferior. La tabla marca cada cuadrante con sus signos de (cos, sen):
| cuadrante | ángulos | cos | sen | tan |
|---|---|---|---|---|
| I | 0° a 90° | + | + | + |
| II | 90° a 180° | − | + | − |
| III | 180° a 270° | − | − | + |
| IV | 270° a 360° | + | − | − |
Así, 150° es (−√3/2, 1/2) y 210°, cuyo ángulo de referencia también es 30°, es (−√3/2, −1/2).
La circunferencia unitaria en radianes
Una vuelta completa son 360° y también 2π radianes, porque la longitud de una circunferencia de radio 1 es 2π: un radián es un arco de la longitud de un radio. Media vuelta son 180° o π.
A partir de ahí, los ángulos notables son fracciones de media vuelta. 30° es la sexta parte de 180°, así que es π/6; 45° es la cuarta parte, π/4; 60° la tercera, π/3. El denominador dice cuántas veces cabe ese ángulo en media vuelta y el numerador las cuenta: 150° son cinco sextos de media vuelta, 5π/6.
La tangente en la circunferencia unitaria
La tangente es el cociente sin(x)/cos(x), que es la pendiente de la recta que va del centro al punto. En 45° el seno y el coseno son iguales, así que la tangente vale exactamente 1. En 30° vale √3/3 y en 60° vale √3.
En 90° el punto está justo arriba, en (0, 1), así que el coseno vale 0 y la tangente no está definida: ningún número es igual a 1 dividido entre 0, y una recta vertical no tiene pendiente. Lo mismo pasa en 270°. En el resto de ángulos la tangente sigue la regla de los signos: es positiva donde el seno y el coseno coinciden (cuadrantes I y III) y negativa donde difieren. La versión con tangente de la tabla muestra todos los valores.
Quiz y ejercicios de la circunferencia unitaria
Pon la circunferencia de arriba en Pregúntame: oculta los valores, tú los dices y después compruebas. O responde esta de memoria:
Para practicar en papel, imprime la tabla en blanco y completa los dieciséis puntos. Cuando lo consigas en menos de dos minutos sin mirar, te sabes la circunferencia unitaria.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la circunferencia unitaria?
Es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Traza una recta desde el centro con un ángulo y marca dónde corta la circunferencia: las coordenadas de ese punto son exactamente (coseno del ángulo, seno del ángulo). Así una pregunta sobre triángulos se convierte en una pregunta sobre coordenadas, que es mucho más fácil de imaginar.
¿Cuáles son los valores de la circunferencia unitaria?
En los dieciséis ángulos notables cada coordenada es 0, 1/2, √2/2, √3/2 o 1, con un signo. En el primer cuadrante: 30° es (√3/2, 1/2), 45° es (√2/2, √2/2) y 60° es (1/2, √3/2). Cualquier otro ángulo notable repite una de estas parejas con los signos de su cuadrante. La tabla de esta página recoge los dieciséis, con la tangente.
¿Hay una circunferencia unitaria para imprimir o en blanco?
Sí. La tabla del principio de esta página se descarga como PDF en tamaño carta o como PNG, en tres versiones: con coordenadas, con coordenadas y tangente, y en blanco. La versión en blanco conserva la circunferencia, los ejes y los dieciséis puntos, para que completes tú cada valor.
¿Por qué el punto de la circunferencia es (cos, sen) y no (sen, cos)?
Porque el coseno mide la distancia horizontal y la coordenada x es la horizontal. Baja una vertical desde el punto hasta el eje x y obtienes un triángulo rectángulo de hipotenusa 1. El cateto horizontal es el contiguo al ángulo, así que vale cos partido por 1, es decir, cos. El cateto vertical es el opuesto, así que es el seno.
¿Cómo memorizar la circunferencia unitaria?
Aprende tres números y una regla. Los números son 1/2, √2/2 y √3/2, los valores del primer cuadrante. La regla es la del signo: el coseno es negativo en la mitad izquierda de la circunferencia y el seno es negativo en la mitad inferior. Cualquier otro ángulo es un valor del primer cuadrante con esos signos, y se encuentra con su ángulo de referencia.
¿Cómo pasar de grados a radianes?
Una vuelta completa son 360 grados y también 2π radianes, así que media vuelta son 180 grados y π radianes. Multiplica los grados por π/180 para obtener radianes, o los radianes por 180/π para obtener grados. Así, 30° es π/6, 45° es π/4, 60° es π/3 y 90° es π/2.
¿Por qué la tangente de 90 grados no está definida?
La tangente es el seno dividido entre el coseno. En 90° el punto está justo arriba, en (0, 1), así que el coseno vale 0, y dividir entre 0 no tiene resultado. Lo mismo pasa en 270°. En la circunferencia también se ve: la tangente es la pendiente de la recta que sale del centro, y una recta vertical no tiene pendiente.
Esta y todas las fórmulas relacionadas, en una hoja para imprimir:
Fórmulas de trigonometría