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Resuelve cualquier ecuación cuadrática con todos los pasos escritos, de forma exacta.
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El curso de matemáticas de Coddy enseña el método en sí: trabajas cada paso en una pizarra interactiva y te dice exactamente dónde falló un movimiento.
Una ecuación cuadrática es cualquiera que puedas escribir como ax² + bx + c = 0, donde a no es cero. La fórmula cuadrática, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, resuelve absolutamente todas ellas, lo cual es notable y merece aprecio. Factorizar solo funciona cuando los números resultan amables; completar el cuadrado funciona siempre pero requiere práctica; la fórmula funciona siempre y solo requiere cuidado.
La parte que hace el trabajo de verdad está bajo la raíz. A b² - 4ac se le llama discriminante, y su signo decide la forma de la respuesta antes de calcular nada más: positivo significa dos raíces, cero significa una raíz doble, negativo significa que no hay solución real. Mirar el discriminante primero te dice qué tipo de respuesta esperar, que es la manera más rápida de detectar después un fallo de aritmética.
La fórmula no es un solo movimiento, y ese es el malentendido más común sobre ella. Es un procedimiento corto: sustituir, evaluar el discriminante, extraer la raíz, separar el ± y reducir cada rama. Esta calculadora recorre los cinco para que veas cuál habrías fallado.
Escribe a, b y c en las casillas. Sirven enteros, decimales y fracciones como 1/2. Un término que falta significa coeficiente cero: en x² - 4 = 0, b es 0.
Escribe algo como 2x^2 - 5x + 2 = 0 en el campo de la ecuación y pulsa Leerla. Los términos de ambos lados se agrupan a la izquierda automáticamente, así que 3x^2 = 2x + 1 también funciona.
El cuarto paso te da b² - 4ac. Fíjate en su signo y predice la forma de la respuesta (dos raíces, una o ninguna) antes de seguir bajando.
Si tu respuesta no coincidía, la pregunta útil no es qué número es correcto sino en qué paso se separaron. Encuentra esa línea y el error se explica solo.
La fórmula no es un axioma. Es lo que se obtiene al completar el cuadrado una sola vez sobre la ecuación general, para que nadie tenga que volver a hacerlo con sus propios números. Recorrerla una vez es la diferencia entre recordar la fórmula y entenderla.
a x^2 + b x + c = 0
a no puede ser cero: sin término en x² no hay nada cuadrático que resolver, y el 2a del denominador también sería cero.
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
Completar el cuadrado exige un x² pelado, así que la a tiene que salir de delante. Este es también el paso que mete la a en el denominador, donde se queda hasta el final.
x^2 + (b/a) x = -c/a
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
La mitad de b/a es b/2a, y su cuadrado es b²/4a². Sobre este movimiento gira toda la deducción: es exactamente lo que le faltaba al lado izquierdo para ser un cuadrado perfecto.
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
Ahí aparece el discriminante, b² - 4ac, por sí solo y antes de que nadie le pusiera nombre.
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
Los dos signos, porque ambos elevados al cuadrado dan lo mismo. El 2a sale de √(4a²) como |2a|, y el ± de delante absorbe el signo en cualquier caso.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
En esas siete líneas no se usó ninguna a, b o c concreta, y por eso el resultado vale para toda ecuación cuadrática. También por eso el discriminante decide la forma de la respuesta: es el número bajo la raíz, y si es negativo el paso seis no tiene adónde ir.
El valor de b² - 4ac decide todo sobre la forma de la respuesta antes de extraer una sola raíz.
| Discriminante | Raíces reales | La gráfica | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | Dos raíces reales distintas | Cruza el eje x dos veces | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | Una raíz doble | Toca el eje x una vez | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | Sin solución real | Nunca llega al eje x | x² + 2x + 5 = 0 |
| Un cuadrado perfecto | Dos raíces racionales | Cruza en dos fracciones o enteros | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| Positivo, no cuadrado | Dos raíces irracionales | Cruza en dos radicales | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
a = 1, b = -5, c = 6El discriminante es (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Su raíz cuadrada es exactamente 1, así que las raíces son (5 + 1)/2 = 3 y (5 - 1)/2 = 2. Como el discriminante es un cuadrado perfecto, ambas raíces son racionales y la ecuación también factoriza como (x - 3)(x - 2) = 0. Este es el caso en el que factorizar habría sido más rápido.
a = 2, b = -5, c = 2El discriminante es 25 - 16 = 9, así que √9 = 3 y las raíces son (5 + 3)/4 = 2 y (5 - 3)/4 = 1/2. Fíjate en que la segunda raíz se queda en 1/2 y nunca se muestra como 0,5: una fracción es el valor exacto, y el decimal es una aproximación que resulta corta.
a = 1, b = -4, c = 1El discriminante es 16 - 4 = 12, que no es un cuadrado perfecto. √12 se simplifica a 2√3, así que las raíces son (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3. Aquí es donde la mayoría de las calculadoras empiezan a imprimir 3,7320508 y dejan de ser útiles: 2 + √3 es la respuesta, y cualquier decimal es un redondeo de ella.
a = 1, b = 2, c = 5El discriminante es 4 - 20 = -16. Ningún número real elevado al cuadrado da un negativo, así que la ecuación no tiene solución real y el desarrollo se detiene ahí. La parábola queda entera por encima del eje x. Si tu curso ya ha llegado a los números complejos, las raíces son -1 ± 2i, pero que eso cuente como respuesta depende del sistema numérico en el que te hayan enseñado a trabajar.
