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Calculatrice de systèmes d'équations

Élimination étape par étape, avec les deux droites et leur intersection.

Par Nethanel Bar, Cofondateur et PDG

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Un système, c'est deux droites, et le résoudre c'est trouver où elles se croisent

Deux équations en x et y sont deux droites dans le même plan. Un couple (x, y) qui vérifie les deux équations est un point situé sur les deux droites - donc leur intersection. C'est toute l'idée, et elle explique tous les cas d'un coup : deux droites qui se croisent une fois donnent une solution, deux parallèles n'en donnent aucune, et une droite tracée deux fois en donne une infinité.

L'élimination et la substitution ne sont que des façons de trouver cette intersection sans la dessiner. Cette page fait les deux moitiés : le dessin, pour voir ce que la réponse signifie, et l'élimination écrite ligne à ligne, pour voir comment elle a été trouvée. La plupart des calculatrices donnent l'un ou l'autre.

Les deux cas particuliers sont nommés au lieu d'être signalés comme des échecs. « Aucune solution » et « une infinité de solutions » sont de vraies réponses avec un vrai sens, et un solveur qui hausse les épaules devant elles apprend à craindre la question. Ici la configuration est calculée à partir des coefficients, donc la page peut dire dans quel cas vous êtes même quand il n'y a aucun couple à afficher.

Ce qu'il faut regarder dans les étapes

  • L'élimination consiste à rendre égaux les coefficients d'une inconnue, puis à additionner ou soustraire les équations pour la faire disparaître. Toute la méthode est cette idée répétée.
  • Additionner ou soustraire dépend des signes : si les coefficients égalisés ont le même signe, soustrayez ; s'ils diffèrent, additionnez. L'inverser est l'erreur la plus fréquente.
  • Une fois une inconnue trouvée, reportez-la dans l'une des équations d'origine pour obtenir l'autre. L'une ou l'autre - si les deux donnent des résultats différents, quelque chose était faux avant.
  • Deux parallèles ont la même pente et des ordonnées différentes. En algèbre cela apparaît comme une ligne impossible du type 0 = -2, qui n'est pas un message d'erreur mais la réponse.
  • Trois inconnues, même principe : éliminez-en une pour retomber sur un système 2x2, puis terminez. Le dessin n'aide plus là, car trois inconnues sont des plans et non des droites.

Comment utiliser la calculatrice

  1. Écrivez une équation par ligne

    Comme sur papier : 2x + y = 5 sur la première ligne, x - y = 1 sur la suivante. Les coefficients peuvent être fractionnaires ou décimaux.

  2. Lisez la réponse et la configuration

    Le couple est en haut. En dessous, une phrase dit ce qu'est le système géométriquement : une intersection, des parallèles, ou la même droite deux fois.

  3. Regardez le dessin

    Les droites sont tracées avec l'intersection marquée. Si la réponse surprend, le dessin l'explique souvent plus vite que l'algèbre.

  4. Suivez l'élimination

    Les étapes numérotées montrent quelle inconnue a été supprimée, comment, et ce qu'il restait. C'est la méthode qu'on vous demande de reproduire.

Les trois cas

Tout système 2x2 est l'un de ceux-ci, et on peut savoir lequel en regardant les droites avant tout calcul.

CasLes droitesExemple
Une solutionCross once2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1)
Aucune solutionParallel, different interceptsx + y = 3, x + y = 5
Une infinitéThe same line twicex + y = 3, 2x + 2y = 6
Une seule équationA whole line of solutions2x + 3y = 7
Trois inconnuesPlanes, not linesx + y + z = 6, x - y = 0, z = 2

Exemples résolus

Une intersection : 2x + y = 5 et x - y = 1

plain
2x + y = 5; x - y = 1

Additionner les deux équations supprime y immédiatement, car +y et -y s'annulent : 3x = 6, donc x = 2, puis y = 1 avec l'une ou l'autre équation. Le dessin montre les droites se croisant en (2, 1) : un point, une réponse.

Droites parallèles : x + y = 3 et x + y = 5

plain
x + y = 3; x + y = 5

Soustrayez et vous obtenez 0 = -2, qu'aucun couple de nombres ne peut réparer. Ce n'est pas un échec du solveur : c'est la réponse. Les droites ont la même pente et des ordonnées différentes, elles ne se rencontrent donc jamais et le système n'a pas de solution.

La même droite deux fois : x + y = 3 et 2x + 2y = 6

plain
x + y = 3; 2x + 2y = 6

La seconde équation est la première doublée : elle trace la même droite. Chacun de ses points vérifie les deux, donc une infinité de solutions. Sur le dessin, vous ne voyez qu'une droite, parce qu'il n'y en a qu'une.

Trois inconnues : x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2

plain
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2

En remplaçant z = 2 et x = y, les trois équations se ramènent à une et donnent x = y = 2. Pas de dessin ici - trois inconnues sont des plans, pas des droites - mais l'élimination est la même procédure, une inconnue à la fois.

Erreurs fréquentes

  • Additionner quand il fallait soustraire. Des coefficients égaux de même signe se soustraient ; seuls des signes opposés s'annulent par addition.
  • Ne multiplier qu'une partie d'une équation. Si vous multipliez une équation pour égaliser un coefficient, tous les termes, second membre compris, doivent l'être.
  • Reporter dans l'équation qu'on vient de modifier. Utilisez l'une des équations d'origine, sinon vous perdez la seconde condition.
  • Trouver une inconnue et s'arrêter. Un système 2x2 a deux réponses, et ne donner que x est une demi-solution.
  • Lire 0 = -2 comme une erreur de calcul plutôt que comme « aucune solution ». De même, 0 = 0 signifie une infinité, pas que quelque chose a mal tourné.
  • Vérifier dans une seule équation. Reportez le couple dans LES DEUX équations d'origine ; en vérifier une seule ne prouve rien.

Questions fréquentes

Comment résoudre un système d'équations ?
Égalisez les coefficients d'une inconnue dans les deux équations, puis additionnez ou soustrayez pour l'éliminer. Résolvez l'équation restante, reportez cette valeur dans l'une des équations d'origine pour trouver l'autre inconnue, et vérifiez enfin le couple dans les deux.
Quelle différence entre élimination et substitution ?
L'élimination combine les équations pour supprimer une inconnue ; la substitution isole une inconnue dans une équation et injecte cette expression dans l'autre. Les deux donnent toujours la même réponse. L'élimination est plus courte quand les coefficients sont commodes, la substitution quand une équation a déjà une inconnue isolée.
Que veut dire « aucune solution » pour un système ?
Que les deux droites sont parallèles : même pente, ordonnées différentes, donc aucun point commun. En algèbre cela apparaît comme une affirmation impossible du type 0 = -2. C'est une réponse complète, pas un échec.
Que veut dire « une infinité de solutions » ?
Que les deux équations décrivent la même droite - l'une est un multiple de l'autre. Chaque point de cette droite vérifie les deux équations, donc la solution est la droite entière et non un couple unique. On demande souvent de l'écrire en fonction d'une variable.
Résout-elle trois équations à trois inconnues ?
Oui, et l'élimination est montrée de la même façon : supprimez une inconnue pour retomber sur un 2x2, résolvez, puis remontez. Le graphique n'est tracé que pour deux inconnues, car avec trois il s'agit de plans et un dessin plat tromperait plus qu'il n'expliquerait.
Pourquoi tracer les droites ?
Parce que le dessin est le sens. L'élimination est une procédure fiable qui masque ce qui se passe ; deux droites se croisant en un point rendent évident pourquoi il y a exactement une réponse - et pourquoi des parallèles n'en ont aucune.
Accepte-t-elle fractions et décimaux ?
Oui, et de façon exacte. 0,5x + y = 3 est lu comme un demi, et la réponse d'un système à coefficients fractionnaires sort en fraction exacte, pas en décimal arrondi.

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