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Une seule mesure du cercle donne les autres, avec π gardé tel quel.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Un cercle n'a qu'un degré de liberté : n'importe quelle mesure fixe donc toutes les autres. À partir du rayon r : le diamètre vaut 2r, la circonférence 2πr et l'aire πr². Ces trois formules sont tout le sujet, et la seule chose à garder claire est que la circonférence utilise le rayon une fois là où l'aire l'utilise deux fois - au carré, pas doublé.
π est ce qui fait qu'un cercle est un cercle : c'est le rapport de toute circonférence à son propre diamètre, le même nombre pour tous les cercles jamais tracés. Il est irrationnel, donc sans écriture décimale exacte - et c'est précisément pourquoi cette page le garde comme la lettre π. Une circonférence de 6π est une réponse exacte ; 18,85 est un arrondi, et les deux ne sont pas interchangeables quand un énoncé réclame l'une des deux.
Cette exactitude fonctionne aussi à l'envers. Donnez une circonférence de 10 et le rayon vaut 5/π - toujours exact, toujours un nombre réel - et l'aire sort à 25/π. Toute calculatrice concurrente multiplie par 3,14159 dès la première étape et ne peut donc jamais rendre la réponse qu'attend un énoncé scolaire.
Rayon, diamètre ou circonférence. Ils se confondent facilement dans un énoncé, et mettre un diamètre là où la formule veut un rayon double la réponse.
r = d/2. Le faire d'abord signifie n'avoir besoin que d'une formule au lieu d'en retenir deux.
C = 2πr. Laissez π comme lettre pour l'instant - 2π · 3 vaut 6π, et c'est une réponse exacte achevée.
Si l'énoncé veut un nombre, multipliez par 3,14159… tout à la fin. Arrondir tôt perd une précision dont la suite du problème a besoin.
Depuis une circonférence, r = C/(2π). Le π reste au dénominateur, ce qui est exact ; diviser par 3,14 ici est l'endroit où l'on jette habituellement la précision.
Les mêmes quatre mesures pour des rayons courants. La colonne exacte est la réponse ; le décimal en est un arrondi.
| Rayon | Diamètre | Circonférence | Aire | C en décimal |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
r = 3C = 2π · 3 = 6π exactement, soit environ 18,8496. L'aire vaut π · 3² = 9π, environ 28,27. Remarquez que le rayon est élevé au carré pour l'aire et pas pour la circonférence : cette seule différence est l'essentiel de ce qui déraille sur ce sujet.
d = 10Divisez d'abord : r = 5. Alors C = 2π · 5 = 10π et A = π · 5² = 25π. Utiliser le diamètre directement dans C = 2πr aurait donné 20π - exactement le double, et l'erreur la plus courante ici.
C = 10r = 10/(2π) = 5/π, exact et environ 1,5915. L'aire vaut alors π · (5/π)² = 25/π, environ 7,96. Garder π au dénominateur est ce qui rend cela exact ; diviser 10 par 6,28 d'abord aurait arrondi avant même de commencer l'aire.
r = 1/2C = 2π · 1/2 = π exactement - un cercle de rayon un demi a une circonférence de π tout juste. Son aire vaut π/4. Les fractions restent des fractions : rien ne se perd en route.
r = 36π est un seul nombre exact. 18,8496 est un décimal qui coïncide avec lui jusqu'à la quatrième décimale puis s'en écarte à jamais, car π est irrationnel. Si l'énoncé dit « donnez la réponse en fonction de π », la réponse est 6π et 18,85 est compté faux.
