Carrés parfaits
Un carré parfait n'est pas un nombre doté d'une propriété obscure à consulter. C'est une quantité que l'on peut disposer en un vrai carré, et tout le reste en découle.
Dernière mise à jour
« Carré parfait » sonne comme une étiquette que quelqu'un aurait collée sur une liste de nombres qu'il faut désormais mémoriser. Ce n'en est pas une. Le nom décrit une forme, et dès que vous voyez la forme, la liste n'a plus besoin d'être apprise par cœur.
Déplacez le curseur. Regardez ce qui s'ajoute à chaque cran.
Déplacez le curseur d'un cran. Le L grisé est ce qui vient d'être ajouté : comptez-le et vous avez l'écart entre deux carrés consécutifs.
Le nom est littéral
6^2 = 36 ne veut pas dire « on a appliqué au 6 l'opération d'élévation au carré ». Cela veut dire : prenez 36 petits carrés et vous pouvez les disposer en un carré de 6 de côté. Prenez-en 35 et vous ne pouvez pas - il restera toujours un trou ou un débord. Voilà toute la définition, et voilà pourquoi le mot est « carré » plutôt que quelque chose d'abstrait.
Lisez la même image à l'envers et vous avez les racines carrées. sqrt(36) = 6 pose la question : « si 36 petits carrés forment un carré, quel est son côté ? » Un nombre a une racine carrée entière exactement quand c'est un carré parfait, et c'est pourquoi les deux idées vont toujours ensemble.
La liste qui vaut la peine
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Vingt entrées couvrent à peu près tout exercice scolaire, parce que les énoncés sont construits à rebours, à partir de réponses vérifiables.
Les écarts sont les nombres impairs
C'est à cela que sert vraiment le curseur. Poussez-le de 5 à 6 et comptez le L grisé qui apparaît : cinq petits carrés sur le nouveau côté, cinq en haut et un au coin. Onze.
En général, passer de n^2 à (n+1)^2 ajoute 2n+1 petits carrés - toujours impair. Les différences entre carrés consécutifs valent donc 3, 5, 7, 9, 11, 13…, et additionner les impairs dans l'ordre donne les carrés dans l'ordre :
1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16.
C'est aussi une façon rapide d'étendre la table de tête. Si vous savez que 14^2 = 196 et voulez 15^2, ajoutez 2*14 + 1 = 29 : 225.
En repérer un sans calculatrice
Deux filtres font presque tout le travail.
Regardez le dernier chiffre. Élevez n'importe quel nombre au carré : il se termine par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, jamais par 2, 3, 7 ou 8. Donc 4 398 n'est pas un carré parfait, et vous n'avez rien eu à calculer. Ce n'est pas un hasard : le dernier chiffre d'un produit ne dépend que des derniers chiffres des facteurs, et élever 0 à 9 au carré ne produit que ces six terminaisons.
Puis encadrez. 200 se situe entre 14^2 = 196 et 15^2 = 225 : il ne reste aucun entier dont il pourrait être le carré. Tout nombre strictement compris entre deux carrés consécutifs n'en est pas un.
Pourquoi ils reviennent sans cesse
Les carrés parfaits expliquent pourquoi certaines expressions du second degré se factorisent proprement et d'autres non. x^2 - 49 se sépare en différence de deux carrés parce que 49 en est un ; x^2 - 50 non. Ce sont aussi eux qui font se simplifier une racine : sqrt(75) devient 5sqrt(3) précisément parce que 25 est un carré parfait caché dans 75.
À vous
Et un autre dans le sens inverse - une équation plutôt qu'une consultation. Remarquez qu'elle a deux réponses, ce qui est justement l'erreur la plus fréquente avec les racines :
7 et -7 élevés au carré donnent 49 : les deux sont solutions. Le symbole sqrt(49) ne désigne que la positive - c'est une convention sur le symbole, pas un fait sur l'équation.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce qu'un carré parfait ?
- Un entier obtenu en multipliant un entier par lui-même. 9 est un carré parfait car 3 fois 3 font 9 ; 10 ne l'est pas, car aucun entier multiplié par lui-même ne donne 10. Le nom est littéral : exactement ce nombre de petits carrés peut être disposé en un carré.
- Quels sont les carrés parfaits de 1 à 100 ?
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 - les carrés de 1 à 10. Au-delà de 100 viennent 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 et 400, ce qui mène à 20 au carré et couvre presque tout ce que l'école demande.
- Comment savoir si un nombre est un carré parfait ?
- Deux filtres rapides, puis une vérification. Un carré parfait ne finit jamais par 2, 3, 7 ou 8 : ceux-là sont écartés d'emblée. S'il survit, cherchez le carré connu le plus proche : 200 se situe entre 196 et 225, donc ce n'en est pas un. Ce n'est qu'après ces deux filtres qu'il faut extraire une racine.
- Pourquoi les écarts entre carrés parfaits sont-ils les nombres impairs ?
- Parce que passer d'un carré de côté n à un carré de côté n+1 revient à ajouter une bande sur un côté, une autre en haut et un petit carré au coin : n + n + 1, toujours impair. Les différences valent donc 3, 5, 7, 9…, et additionner les impairs dans l'ordre redonne les carrés dans l'ordre.
- Zéro est-il un carré parfait ?
- Oui. 0 fois 0 fait 0, donc il correspond exactement à la définition. Certaines listes scolaires commencent à 1 parce qu'un carré sans côté est difficile à se représenter, mais rien dans la définition ne l'exclut, et traiter 0 comme un carré rend l'algèbre suivante plus propre.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
Envie de l'essayer avec vos propres nombres ?
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