Additionner des fractions

L’addition de fractions a une réputation, et elle est méritée en un sens précis : c’est la seule des quatre opérations avec une étape en plus. Multiplier et diviser passent tout droit. Additionner s’arrête et vous demande de réécrire d’abord les deux fractions.

Cette étape en plus n’est pas une convention inventée par quelqu’un. Elle est forcée, et les barres ci-dessous sont la raison.

Des morceaux de tailles différentes ne se comptent pas ensemble

Les deux barres du haut sont les deux fractions. Aux valeurs de départ, l’une est découpée en moitiés et l’autre en tiers — des découpes différentes, donc leurs morceaux ont des tailles différentes. Il n’y a aucune façon honnête de dire combien de morceaux vous avez en tout, parce qu’une moitié et un tiers ne sont pas la même chose. « Un morceau plus un morceau font deux morceaux » donnerait 2/5, soit moins que la moitié dont on est parti.

La troisième barre règle cela. Les deux fractions sont redécoupées en sixièmes : la moitié en devient 3, le tiers en devient 2, et ce sont désormais des morceaux d’une seule taille qu’on peut simplement rapprocher.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Remarquez ce que le dénominateur a fait pendant l’addition : rien. Ce n’est pas une quantité qu’on additionne, c’est une étiquette qui dit quel type de morceau est compté. Trois sixièmes plus deux sixièmes font cinq sixièmes pour la même raison que trois pommes plus deux pommes font cinq pommes.

C’est aussi pourquoi additionner les dénominateurs est faux. 1/4 + 1/4 vaut 2/4, une moitié — et additionner les dénominateurs donnerait 2/8, un quart, la quantité qu’on avait avant d’additionner quoi que ce soit.

Quand les dénominateurs coïncident déjà, il n’y a rien à faire

Mettez les deux dénominateurs au même nombre dans la figure et la troisième barre est découpée comme les deux autres, parce que le travail est déjà fait :

2/7 + 3/7 = 5/7

Additionnez les numérateurs, gardez le dénominateur, simplifiez si possible. Voilà toute la règle, et tout le reste de cette page existe pour vous amener à cette situation.

Trouver le dénominateur commun

Il vous faut un nombre que les deux dénominateurs divisent. Deux façons d’en obtenir un :

Le plus petit dénominateur commun est le plus petit possible — le plus petit commun multiple des deux dénominateurs. Il garde les calculs petits.

Multiplier les deux dénominateurs marche toujours, ne demande aucune réflexion, et donne des nombres plus grands qui se simplifient à la fin.

Les deux colonnes atteignent la même réponse. Celle de droite transporte seulement de plus grands nombres en route, donc 1/4 + 1/6 arrive comme 10/24 et doit être réduit à 5/12, là où le chemin de gauche atterrit directement sur 5/12.

Regardez le résultat dans la figure en déplaçant les dénominateurs : quand l’un divise déjà l’autre, le dénominateur commun est simplement le plus grand. 2/5 + 1/10 demande 10, pas 50, parce que les cinquièmes sont déjà faits de dixièmes.

Réécrire chaque fraction

Une fois le dénominateur choisi, chaque fraction est réécrite en multipliant son haut et son bas par ce qui l’y amène — une fraction équivalente, rien de plus :

3/8 = (3*3)/(8*3) = 9/24

1/6 = (1*4)/(6*4) = 4/24

9/24 + 4/24 = 13/24

Le multiplicateur est différent pour chaque fraction, et c’est normal : 8 a besoin d’un 3 pour atteindre 24 et 6 d’un 4. Ce qui doit être identique pour les deux, c’est le nombre sur lequel on finit.

La soustraction, c’est la même page

Tout ce qui précède tient, avec un signe changé à la toute fin :

5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

Dénominateur commun, puis soustrayez les numérateurs. Si la réponse sort négative, c’est une vraie réponse et non une erreur : 1/4 - 5/6 vaut -7/12.

Essayez

3/8+1/6

Si vous avez trouvé 4/14, les dénominateurs ont été additionnés. Si vous avez trouvé 26/48, vous avez multiplié les dénominateurs au lieu de prendre leur plus petit commun multiple : la quantité est bonne, simplifiez-la et vous atterrirez tout de même sur 13/24.