Simplifier 12/16
plain
12/1612 vaut 2² · 3 et 16 vaut 2⁴. Ils partagent 2², donc le PGCD est 4 : divisez les deux termes et il reste 3/4. Diviser par 2 aurait donné 6/8, correct mais inachevé, car 6 et 8 partagent encore un 2.
Calculatrice de simplification de fractions
Réduisez toute fraction à sa forme irréductible, avec le facteur commun trouvé et expliqué.
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Simplifier une fraction, c'est une seule division faite aux deux termes
Une fraction ne change pas de valeur quand ses deux termes sont multipliés ou divisés par le même nombre : 12/16, 6/8 et 3/4 sont une seule quantité écrite de trois façons. Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par tout ce qu'ils ont en commun, jusqu'à ce qu'ils n'aient plus rien en commun. Ce nombre est leur PGCD, et c'est la seule chose à trouver.
La plupart des calculatrices affichent la fraction réduite et s'arrêtent là, ce qui cache la moitié intéressante. Ici les deux termes sont d'abord décomposés en facteurs premiers : 12 vaut 2² · 3 et 16 vaut 2⁴, ils partagent 2², donc le facteur est 4. Voilà pourquoi 4 et pas 2 ni 8 - et après l'avoir vu deux ou trois fois, vous n'avez plus besoin de la calculatrice, ce qui est bien le but.
Tout est exact. 1/3 s'affiche 0.333… avec la partie périodique marquée, et non 0.3333333333 ; un sixième en pourcentage vaut 16⅔% et non 16.67% ; et un nombre mixte porte son signe sur la quantité entière, donc -2 3/4 vaut -11/4 et jamais -5/4.
Ce qu'il faut remarquer
- Forme irréductible signifie que les deux termes n'ont aucun facteur commun supérieur à 1. C'est la condition d'arrêt, pas « les nombres ont l'air petits ».
- Le facteur par lequel diviser est le PGCD. Diviser par un facteur commun plus petit marche aussi, il faut simplement plusieurs tours : 12/16 par 2 donne 6/8, qui demande encore un 2.
- Simplifier une fraction et chercher un PGCD sont le même problème. Si vous savez faire l'un, vous savez faire l'autre : les deux calculatrices d'ici suivent exprès le même chemin.
- Une fraction dont les termes sont premiers entre eux est terminée. 7/9 ne se simplifie pas, et se l'entendre dire est une réponse, pas un échec.
- Simplifier ne change ni le décimal ni le pourcentage, puisque cela ne change pas la valeur. C'est une vérification gratuite : si le décimal a bougé, vous n'avez divisé qu'un seul terme.
Comment simplifier une fraction
D'abord le nombre mixte
S'il y a un entier devant, intégrez-le : multipliez l'entier par le dénominateur et ajoutez le numérateur. 2 6/8 devient (2 · 8 + 6)/8 = 22/8. Le signe, s'il y en a un, appartient à la quantité entière.
Décomposez les deux termes en facteurs premiers
22 vaut 2 · 11 et 8 vaut 2³. Les écrire est ce qui rend les facteurs communs visibles au lieu d'être devinés.
Multipliez les facteurs premiers communs
Prenez chaque nombre premier que les deux possèdent, autant de fois qu'ils le possèdent tous les deux. Ici c'est un seul 2, donc le PGCD vaut 2.
Divisez les deux termes par lui
22 ÷ 2 = 11 et 8 ÷ 2 = 4, donc la fraction est 11/4. Vérifiez l'arrêt : 11 et 4 ne partagent rien, c'est donc bien la forme irréductible.
Écrivez-la comme l'énoncé le demande
11/4 fait plus d'une unité, on peut donc aussi l'écrire en nombre mixte 2 3/4 : même valeur, et généralement la forme attendue quand l'énoncé partait d'un nombre mixte.
Fractions sous forme irréductible
Les mêmes huit quantités dans tous leurs costumes : la fraction donnée, le facteur qui sort, la forme réduite, le décimal exact et le pourcentage exact.
| Fraction | PGCD | Forme irréductible | Décimal | Pourcentage |
|---|---|---|---|---|
| 12/16 | 4 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 8/12 | 4 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 84/126 | 42 | 2/3 | 0.666… | 66⅔% |
| 15/25 | 5 | 3/5 | 0.6 | 60% |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0.75 | 75% |
| 18/6 | 6 | 3 | 3 | 300% |
| 7/9 | 1 | 7/9 | 0.777… | 77⁷⁄₉% |
| 2 6/8 | 2 | 2 3/4 | 2.75 | 275% |
Exemples résolus
Une déjà terminée : 7/9
plain
7/97 est premier et 9 vaut 3², ils ne partagent donc rien au-dessus de 1 et la fraction ne se simplifie pas. La page le dit au lieu de faire semblant de travailler : « déjà irréductible » est la réponse à la question posée.
Une grosse : 84/126
plain
84/12684 vaut 2² · 3 · 7 et 126 vaut 2 · 3² · 7. Communs : un 2, un 3 et un 7 - donc le facteur est 42 et la fraction tombe directement sur 2/3. Voir 42 à l'œil est difficile ; le lire sur les deux décompositions ne l'est pas.
Un nombre mixte : 2 6/8
plain
2 6/8Intégrez d'abord : 2 · 8 + 6 = 22, donc 22/8. Réduisez par 2 jusqu'à 11/4, puis réécrivez 2 3/4. L'entier n'avait pas besoin d'être touché : seule la partie fractionnaire était réductible.
Une qui donne un entier : 18/6
plain
18/6Le PGCD est 6, et diviser les deux termes donne 3/1, c'est-à-dire simplement 3. Une barre au-dessus de rien se lit comme une erreur, donc la réponse s'écrit 3 tout court.
Erreurs fréquentes
- Ne diviser qu'un seul terme. 12/16 n'est pas 3/16 : ce que vous faites en haut doit être fait en bas, sinon vous avez changé la valeur.
- S'arrêter trop tôt. 6/8 est une simplification correcte de 12/16 et n'est toujours pas la réponse : presque tous les barèmes veulent la forme irréductible.
- Soustraire au lieu de diviser. 12/16 n'est pas 8/12 « parce que j'ai enlevé 4 aux deux ». Une fraction est un rapport : seules la multiplication et la division la laissent intacte.
- Simplifier à travers une addition. Dans (4 + 6)/2 on ne peut pas simplifier le 4 avec le 2 : le 2 divise tout le numérateur, donc l'addition passe d'abord.
- Mettre le signe du nombre mixte sur la partie fractionnaire. -2 3/4 signifie -(2 + 3/4) = -11/4. Le lire -2 + 3/4 donne -5/4, un tout autre nombre.
- Arrondir en route. Si l'on veut le décimal ou le pourcentage, obtenez d'abord la fraction exacte : 1/3 écrit 0.33 n'est plus un tiers.
FAQ sur la simplification des fractions
Comment simplifier une fraction ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Pour 12/16 ce facteur vaut 4, ce qui donne 3/4. Si vous ne voyez pas le facteur, décomposez les deux nombres en facteurs premiers et multipliez ceux qu'ils partagent : ce produit EST le PGCD.
Que veut dire « forme irréductible » ?
Que le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun supérieur à 1. 3/4 est irréductible ; 6/8 ne l'est pas, car les deux termes sont encore pairs. « Fraction réduite » et « forme la plus simple » veulent dire exactement la même chose.
Comment savoir qu'une fraction ne se simplifie pas ?
Quand le PGCD des deux termes vaut 1 - on dit alors qu'ils sont premiers entre eux. Vérification rapide : si le numérateur est premier et ne divise pas le dénominateur, c'est terminé. 7/9, 5/12 et 13/20 sont finies telles quelles.
Est-ce que cela marche pour les nombres mixtes et les fractions impropres ?
Oui. Un nombre mixte est d'abord transformé en une seule fraction (2 6/8 devient 22/8), réduit, puis réécrit en nombre mixte s'il dépasse l'unité. Les fractions impropres sont traitées de la même façon et les deux formes de la réponse vous sont données.
Pourquoi la réponse montre-t-elle un décimal périodique plutôt qu'arrondi ?
Parce que ce sont deux nombres différents. Un tiers vaut 0.333… sans fin, et 0.333 n'est pas un tiers : il est plus petit d'un trois-millième. Marquer la période est la seule façon honnête d'écrire la valeur, et c'est pourquoi la page n'arrondit pas.
Simplifier une fraction, est-ce la même chose que chercher le PGCD ?
En pratique oui : tout le travail consiste à trouver le PGCD puis à faire une division avec lui. C'est pour cela que cette page montre les deux décompositions, et que la calculatrice de PGCD suit le même chemin : une seule compétence sous deux noms.
Faut-il toujours simplifier ses réponses ?
Presque toujours, oui. Une fraction non simplifiée n'est pas fausse en valeur, mais la plupart des barèmes donnent le point pour la forme irréductible, et comparer deux fractions est bien plus simple quand les deux sont réduites. L'exception : un énoncé qui exige un dénominateur précis.
