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La division posée, étage par étage, avec le décimal exact et le reste.
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Le cours de maths de Coddy enseigne la méthode elle-même : tu travailles chaque étape sur un tableau interactif et on te dit exactement où le mouvement a dérapé.
Chaque palier de la potence répète les mêmes quatre gestes : abaisser le chiffre suivant, demander combien de fois le diviseur y tient, multiplier, soustraire. Ce qui reste après la soustraction passe au palier suivant, et les chiffres écrits au-dessus assemblent le quotient. Il ne se passe jamais rien d'autre : la division posée est un algorithme court appliqué autant de fois que le nombre a de chiffres.
Seul le premier palier est particulier : on prend juste assez de chiffres pour que le diviseur y tienne. Pour 1234 ÷ 56, ni 1 ni 12 ne suffisent, donc la première fenêtre est 123 - et 56 y tient deux fois. Ensuite, c'est strictement un chiffre par palier, zéros compris : quand 56 y tient zéro fois, le 0 monte quand même au-dessus, et l'oublier est la façon classique de perdre une position.
Quand les chiffres sont épuisés et qu'il reste encore quelque chose, la même boucle continue au-delà de la virgule en abaissant des zéros - c'est de là que viennent réellement les décimales. Et lorsqu'un reste déjà rencontré réapparaît, les chiffres compris entre les deux apparitions se répètent forcément à l'infini : voilà pourquoi 7 ÷ 12 = 0.58333… est périodique, repéré par la potence elle-même plutôt qu'affirmé.
Lis les chiffres du dividende depuis la gauche jusqu'à obtenir un nombre au moins égal au diviseur. Pour 731 ÷ 4, le 7 suffit ; pour 1234 ÷ 56, il faut 123.
Combien de fois entières le diviseur y tient-il ? Écris ce chiffre au-dessus, le produit en dessous, puis soustrais. 4 tient une fois dans 7 ; 7 - 4 laisse 3.
Accole le chiffre suivant du dividende à ce qui reste et applique-lui les mêmes trois gestes. Le 3 devient 33, et 4 y tient 8 fois.
Ce qui reste à la fin est le reste : 731 ÷ 4 = 182 R 3. Pour obtenir un décimal à la place, place une virgule au quotient et continue d'abaisser des zéros : 182.75.
La même division sous les trois formes qu'un exercice peut demander - et le moment où chacune est la bonne réponse.
| Division | Quotient et reste | Décimal exact | En fraction |
|---|---|---|---|
| 731 ÷ 4 | 182 R 3 | 182.75 | 731/4 = 182¾ |
| 1234 ÷ 56 | 22 R 2 | 22.03(571428) | 617/28 |
| 7 ÷ 12 | 0 R 7 | 0.58(3) | 7/12 |
| 100 ÷ 8 | 12 R 4 | 12.5 | 25/2 |
| 45 ÷ 9 | 5 R 0 | 5 | 5 |
| 10 ÷ 3 | 3 R 1 | 3.(3) | 10/3 |
| 1 ÷ 7 | 0 R 1 | 0.(142857) | 1/7 |
731 ÷ 44 tient une fois dans 7 et laisse 3. Abaisse le 3 : 4 tient 8 fois dans 33 et laisse 1. Abaisse le 1 : 4 tient deux fois dans 11 et laisse 3. Cela fait 182 reste 3 - et en passant la virgule, 30 donne un 7 et 20 donne un 5, donc le décimal exact est 182.75.
1234 ÷ 56Ni 1 ni 12 ne contient 56, donc la première fenêtre est 123 : 56 y tient deux fois (112) et laisse 11. Abaisse le 4 : 56 tient encore deux fois dans 114 (112) et laisse 2. Donc 1234 ÷ 56 = 22 R 2. Avec un diviseur plus grand, le seul travail supplémentaire est d'estimer chaque chiffre du quotient - la boucle ne change pas.
7 ÷ 127 est plus petit que 12, donc la partie entière est 0 et la potence passe directement la virgule : 70 donne 5 (il reste 10), 100 donne 8 (il reste 4), 40 donne 3 (il reste 4 de nouveau). Le reste 4 est déjà apparu - à partir de là la potence ne peut que se répéter, et la réponse est exactement 0.583333… = 0.58 avec le 3 qui se répète.
12.5 ÷ 0.5Multiplie les deux nombres par 10 pour supprimer les virgules : 125 ÷ 5. Mettre les deux à la même échelle laisse le quotient intact - la réponse est 25 dans les deux cas - et c'est pour cela que la méthode scolaire dit "déplace les deux virgules d'autant". La potence travaille ensuite sur des entiers.
