Le repère cartésien
Deux droites graduées croisées à angle droit, et soudain chaque couple de nombres a une place. Les deux erreurs classiques sont l'ordre du couple et l'identité des quadrants — deux choses qui se travaillent mieux qu'elles ne se lisent.
Dernière mise à jour
Avant le repère cartésien, une droite était quelque chose qu'on dessinait et un cercle quelque chose qu'on mesurait. Après lui, les deux sont des équations avec lesquelles on calcule. Tout le tracé de courbes — et presque tout ce que vous ferez en algèbre ensuite — repose sur une petite idée : un couple de nombres nomme un lieu.
Cliquez n'importe où sur le quadrillage. Les pointillés montrent comment le couple se construit.
Cliquez n'importe où. Les pointillés montrent comment on lit le couple : d'abord le long de l'axe des x, puis vers le haut le long de l'axe des y.
D'abord horizontalement, ensuite vers le haut
Chaque axe fait un seul travail. L'axe des x va de gauche à droite et mesure le déplacement horizontal ; l'axe des y va de bas en haut et mesure la montée. Là où ils se croisent se trouve l'origine, soit (0, 0) : aucune distance dans aucune des deux directions.
Pour nommer un point, on donne deux nombres dans un ordre fixe : horizontalement, puis vers le haut. Ainsi (3, 2) veut dire trois vers la droite et deux vers le haut. Rien dans le point lui-même n'indique quel nombre est lequel, c'est donc l'ordre qui porte cette information — d'où le nom de couples ordonnés, et d'où le fait que (3, 2) et (2, 3) soient deux lieux différents.
Si vous continuez à les confondre, une astuce tient souvent : x vient avant y dans l'alphabet, donc il vient en premier dans le couple.
Les négatifs ne font qu'inverser le sens. Une abscisse négative veut dire aller à gauche au lieu de la droite ; une ordonnée négative, descendre au lieu de monter. Cliquez en bas à gauche du quadrillage et regardez les deux signes devenir négatifs ensemble.
Les quatre quadrants
Les deux axes découpent le plan en quatre régions, numérotées depuis le coin supérieur droit, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :
| quadrant | x | y | exemple |
|---|---|---|---|
| I | positif | positif | (3, 2) |
| II | négatif | positif | (-4, 1) |
| III | négatif | négatif | (-2, -3) |
| IV | positif | négatif | (4, -2) |
Ce sens de numérotation semble un choix étrange jusqu'à ce que vous rencontriez les angles, eux aussi mesurés dans ce sens depuis le demi-axe des x positifs. Les deux conventions s'accordent volontairement.
Il n'y a pas de cinquième région pour les axes eux-mêmes. Un point comme (0, 3) est sur l'axe des y, et un point comme (-4, 0) sur l'axe des x ; ni l'un ni l'autre n'est dans un quadrant, parce que les axes sont les frontières. L'outil ci-dessus le dit explicitement quand vous cliquez sur un axe, parce que c'est le cas que l'on devine le plus souvent.
Placer tout un ensemble de points
Une fois les points isolés devenus automatiques, une liste de points commence à dire quelque chose. Voici quatre points placés dans le même repère :
Ils ne sont pas dispersés : ils sont alignés. C'est le moment où le repère cartésien commence à valoir son prix : une régularité dans une liste de nombres devient une forme que l'on voit, et une forme que l'on voit peut presque toujours s'écrire comme une équation. Ici chaque y est la moitié de son x, la droite est donc y = 1/2x.
Essayez-en un
Le quadrillage est au-dessus si vous en avez besoin, mais essayez d'abord de placer celui-ci de tête.
Le point est (-3, 5) — et la question portait volontairement sur le deuxième nombre, parce que l'habitude de lire un couple dans l'ordre est ce qui vaut la peine d'être construit.
Questions fréquentes
- Qu'est-ce que le repère cartésien ?
- Ce sont deux droites graduées croisées à angle droit : une horizontale appelée axe des x et une verticale appelée axe des y. Elles se coupent en un point appelé l'origine, qui vaut (0, 0). Chaque point de la surface plane peut alors être nommé par un couple de nombres : de combien on se déplace horizontalement, et de combien on monte.
- Quel nombre vient en premier dans un couple de coordonnées ?
- L'abscisse, toujours. Le couple (3, 2) veut dire 3 vers la droite et 2 vers le haut, pas l'inverse. L'ordre alphabétique est un moyen fiable de s'en souvenir : x vient avant y dans l'alphabet et vient en premier dans le couple. Le mot « ordonné » dans « couple ordonné » fait un vrai travail — (3, 2) et (2, 3) sont deux points différents.
- Comment numérote-t-on les quatre quadrants ?
- Ils partent d'en haut à droite et tournent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : le quadrant I est en haut à droite, où les deux coordonnées sont positives ; le II en haut à gauche (x négatif, y positif) ; le III en bas à gauche (les deux négatifs) et le IV en bas à droite (x positif, y négatif). Ce sens paraît arbitraire mais il correspond à celui dans lequel on mesure les angles, et c'est pour cela qu'il vaut la peine de l'apprendre ainsi.
- Dans quel quadrant se trouve un point situé sur un axe ?
- Dans aucun. Les axes sont les frontières entre les quadrants, ils n'appartiennent à aucun ; on dit donc d'un point comme (0, 3) ou (-4, 0) qu'il est sur l'axe des y ou sur l'axe des x, et non qu'il est dans un quadrant. L'origine est sur les deux.
- Pourquoi dit-on « cartésien » ?
- D'après René Descartes, qui a publié en 1637 l'idée de nommer les points par des couples de nombres. C'est l'une des idées les plus utiles des mathématiques : elle transforme la géométrie en algèbre. Une droite cesse d'être un dessin pour devenir une équation, et c'est ce qui permet de calculer avec elle.
À vous de le faire, pour de vrai
Lire le calcul de quelqu'un d'autre n'est pas la même chose que savoir le faire. Le cours de maths de Coddy vous installe sur un tableau qui vérifie chacun de vos gestes : vous voyez donc où vous en êtes réellement.
